Алгебра

Алгебра, часть математики, задачи и границы которой различно определяются разными авторами; в особенности трудно отграничить алгебру от арифметики. Одни считают характерным для алгебры ее общие методы исследования, находящие себе выражение в буквенном обозначении изучаемых величин; на этой, в науке совершенно оставленной, точке зрения стоит и по настоящее время наша школьная алгебра. Между тем, это определение не только не устанавливает вовсе содержание алгебры, но и не отмежевывает ее ни от арифметики, в научном изложении которой в настоящее время числа всегда также обозначаются буквами, ни от других частей анализа. Другие считают, что алгебра начинается с введения отрицательных чисел; в согласии с этим установилось даже название «алгебраической суммы» для результата последовательного производства ряда сложений и вычитаний. Третьи определяют алгебру, как науку об уравнениях; хотя эта последняя точка зрения имеет за себя многое, так как учение об уравнениях, несомненно, составляет основание и важнейшую часть алгебры, она все-таки недостаточно правильна уже потому, что не всякое уравнение относится к области алгебры. Наиболее установившаяся в настоящее время в науке точка зрения заключается в следующем. Изучением чисел (всяких — положительных и отрицательных, рациональных и иррациональных, вещественных и мнимых) и действий, над ними производимых, занимается арифметика. Изучению переменных величин и числовых зависимостей, которыми эти величины могут быть связаны, посвящены остальные, высшие отрасли математического анализа. Отдельные его дисциплины отличаются одна от другой характером изучаемых зависимостей (функций) и проблемами, составляющими предмет изучения этих зависимостей. Наиболее простой вид зависимости, связывающей переменную v с переменной х, заключается в том, что значение первой определяются по значениям последней выражением вида:

V = axⁿ + bx^n-1 + cx^n-2 +..+ kx + l (1),

где a, b, c,..l суть заданные количества. Вряд ли будет преувеличением сказать, что изучение всевозможных однозначных аналитических зависимостей (однозначных функций) в конечном счете, приводится к изучению выражений вида (1). Это выражение представляет собой, как мы видим, сумму определенного числа членов, каждый из которых имеет вид gxⁱ, где показатель i есть целое число. Если переменная v зависит не от одной, а от нескольких переменных х, у, z..., то простейший вид зависимости аналогичным образом выражается суммой членов вида gxⁱy^jz^h. Изучение этого рода выражений и составляет предмет алгебры, так что самые эти выражение называются целыми алгебраическими функциями (см. функция). Задача этого изучения заключается, главным образом, в том, чтобы определить, можно ли переменной [в случае выражения (1)] или переменным (если их несколько) дать такие значения, чтобы данное выражение (функция) приняло наперед заданное значение, и если можно, то каковы эти значения переменных. Мы приходим, таким образом, к уравнениям, решение которых действительно составляет главную задачу алгебры, но изложенные соображения устанавливают, какие собственно уравнения относятся к области алгебры.

Изучение алгебраических выражений (функций) и решение алгебраических уравнений чрезвычайно облегчается, если переменные обозначены буквами и действия над ними — знаками. Эти обозначения действительно установились на пути алгебраических исследований, чем и объясняется указанная выше первая точка зрения на алгебру; но этот символизм вырабатывался чрезвычайно медленно.

Известный историк математики Несельман, имея в виду промежуточные стадии, отличает три типа алгебры: 1) риторическая алгебра, в которой нет никаких символов, а все выражается словами; 2) синкопированная алгебра, в которой все задачи и предложение тоже выражаются словами, но в тексте изложения часто повторяющиеся термины обозначаются значками, представляющими сокращение соответствующих названий (сохранившееся у нас обозначение логарифма logx, представляющее лишь сокращение самого этого слова, может служить отличным примером синкопированного обозначения); 3) символическая алгебра, в которой все величины и операции выражаются разработанной системой символов, совершенно не зависящей от какого-либо устного их выражения.

Эволюция понятия о числе (введение отрицательных, дробных, иррациональных и комплексных или мнимых чисел) происходила, главным образом, по запросам алгебры, чем и объясняется указанная выше вторая точка зрения на алгебру. Нужно однако сказать, что развитие алгебры и арифметики шло рука об руку.

В древнейшем математическом памятнике, в египетском папирусе Ахмеса (XVII —XVIII ст. до Рождества Христова, см. Ахмес и арифметика), наряду с чисто арифметическими задачами, встречаются уже и такие, которые носят ясно выраженный характер уравнения. Ахмес называет неизвестную величину «Хау», т. е. «куча»; вместе с тем у него встречаются такого рода задачи: куча, ее седьмая часть и еще одна куча составляют вместе 19; сколько составляет куча? Дальше этих простейших уравнений первой степени Ахмес не идет, и если он встречает затруднение при решении таких задач, то только со стороны арифметики (см.), точнее, со стороны счисления.

Греки, творцы геометрии и теоретической арифметики, в эпоху расцвета не внесли в алгебру ничего. Уже в эпоху упадка, у Никомаха, Ямвлиха, Теона появляются задачи, которые сводятся к простейшим уравнениям первой степени. Но в конце Александрийского периода появляется однако чрезвычайно замечательное сочинение александрийского математика (IV ст. по Рождеству Христову) Диофанта, которое представляет собой трактат по алгебре, сохранивший высокий интерес по сей день. Сочинение это состояло из 13 книг, из которых до нас дошли однако только первые 6.

Автор начинает с определения степеней, отдельно от первой до шестой включительно, причем каждой дает особое название (квадрат, куб, квадрато-квадрат, квадрато-куб, кубо-куб). В эти степени он возводит неизвестную величину, которую обозначает буквой ς; каждая степень помечается особым показателем, представляющим собой не число, а сокращенное название степени; это характерный пример синкопированной алгебры. Диофант вводит также дроби, имеющие числителем единицу, а знаменателем те же степени до 6-ой включительно (мы сказали бы теперь — отрицательные степени до — 6-ой); он дает правила перемножения этих степеней, перебирая всевозможные комбинации, в которых результаты падают в пределы от 6-ой до — 6-ой степени; он не имеет возможности дать общего правила, ибо у него нет показателей, а имеются только синкопированные обозначения, т. е. сокращенные названия степеней. Эти степени с целыми коэффициентами он складывает и вычитает, и таким образом получаются выражения вида (1), которые мы теперь, как сказано выше, называем целыми алгебраическими функциями. Диофант отличает в них положительные и отрицательные члены и дает правило знаков при перемножении многочленов; но независимого понятия об отрицательном числе у него нет. После этих кратких указаний относительно обозначений и преобразований Диофант переходит к задачам. В первой книге собраны задачи, которые приводятся  к определенным уравнениям первой и второй степени. Диофант умеет решать те и другие; но так как греки признавали только рациональные числа, то он ищет только рациональные решения; отрицательных решений он вовсе не знает; даже в том случае, когда квадратное уравнение имеет два положительных корня, Диофант дает только один. Общего правила решения квадратных уравнений Диофант также не дает. Остальные книги посвящены решению неопределенных уравнений в рациональных числах. Но так как решение неопределенных уравнений первой степени представляет собой задачу только тогда, когда речь идет о целых решениях, а Диофант такого ограничения не ставит, то он занимается исключительно неопределенными уравнениями высших степеней, которые решает, конечно, в рациональных числах; при их решении он проявляет гениальную изобретательность, но общих методов он не дает нигде. Мы уже сказали, что алгебра Диофанта есть алгебра синкопированная, господствовавшая затем в Европе почти до середины ХVII столетия. Нельзя допустить, чтобы такое творение мог создать один человек без предшественников; однако, предшественников Диофанта мы не только не знаем, но на них нет даже никаких указаний.

На родине современной арифметики, в Индии, получила дальнейшее развитие и алгебра. Те же индусские астрономы, которые развили десятичное счисление (см. арифметика), — из них наиболее выдающиеся Арьябхатта, (V—VI ст. по Рождеству Христову), Брахмагупта (VI— VII ст.) и Бхаскара (XII ст.) — разработали и начала алгебры в периоде от V до XII столетия по Рождеству Христову. Успехи, достигнутые индусами по сравнению с алгеброй Диофанта, заключаются в следующем. Во-первых, они признавали отрицательные и иррациональные числа, между тем как греки первых вовсе не знали, а вторых не признавали числами. Благодаря этому индусы всегда находят два решения квадратного уравнения, если только оно имеет вещественные корни. Борьба, которой сопровождалось признание отрицательных чисел, сказывается в следующих словах Бхаскары по поводу двух корней, найденных им при решении задачи: «второе решение (отрицательное) здесь нужно отбросить, так как оно не отвечает условиям задачи; люди противятся отвлеченным отрицательным числам». Во-вторых, обозначения, сначала синкопированные, постепенно получили у индусов такое развитие, что их алгебра носит уже отпечаток символической; у Бхаскары изредка появляются уже символы не только для обозначения неизвестных, но и для известных величин. После выяснения своих обозначений Бхаскара дает уже правила сложения, вычитания, умножения, деления, возвышения в квадрат и извлечения квадратного корня из алгебраических выражений, вернее, из целых алгебраических функций. Индусы владели общими правилами решения квадратных уравнений; Бхаскара дает даже преобразование радикалов, в том числе известное правило преобразования двойного квадратного корня в сумму простых корней.

Наследниками индусов были арабы, которым долгое время незаслуженно приписывалась честь создание алгебры. В действительности же они заимствовали сведения из алгебры отчасти от индусов, отчасти от греков. Справедливо лишь то, что многие сочинения греческих и индусских писателей дошли до нас только в арабском переводе. В известном отношении арабы сделали далее существенный шаг назад, так как отказались от всяких символических обозначений: их алгебра чисто риторическая. Этот риторический характер носит и сочинение известного арабского математика IX ст. Мухамет Ибн Муза Алхваризми, которого арабы считали отцом алгебры. Его книга называлась «Альджебр - уальмукабала»; первое слово означает «восстановление», т. е. перенесение отрицательных членов в другую часть уравнения (восстановление положительных членов); второе слово означает «противоположение», отбрасывание равных членов в обеих частях уравнения. От первого из этих терминов и произошло название алгебры. Символическая алгебра сохранилась, впрочем, у западных арабов, что имело большое влияние на дальнейшее развитие алгебры в Европе.

Индусско-арабская алгебра, по содержанию своему, охватывала, таким образом, почти весь тот материал, который в настоящее время относят к элементарной алгебре. Нужно однако сказать, что деление алгебры на элементарную и высшую носит довольно искусственный характер и вызывается скорее условиями преподавания, чем существом дела.

В Европу алгебра проникла через западных арабов и появилась, прежде всего, в Италии. Леонарду Пизанскому (родился около 1175 г.) приписывается обыкновенно честь перенесения алгебры в Европу. Действительно, Леонард сыграл в алгебре ту же роль, что и в арифметике (см.). Его книга, известная под названием «Liber abaci» (1202), называлась, собственно, «Algebra et almucabala» — явное подражание Алхваризми. Чисто риторическое, чуждое всякого символизма изложение изобличает в нем верного ученика арабов. И материал в алгебре Леонарда тот же, что и у арабов; но для доказательства алгебраических предложений он часто пользуется геометрическими приемами.

В течение трех столетий, протекших от Леонарда до Луки Пачиоли (см. арифметика), в Европе утвердилась десятичная система счисления и индусско-арабская алгебра. Так как сведения по этим наукам проникали также через западных арабов, то в изложении этих наук стали появляться синкопированные обозначения; вообще синкопированная алгебра держалась в Европе до середины ХVII столетия. К этому типу относится и знаменитая книга Пачиоли «Summa di Arithmetica» (1494), которая замыкает собой эпоху, когда итальянские авторы только излагали и перерабатывали арабскую алгебру; вскоре и для них наступила пора самостоятельного творчества.

Ближайшая задача алгебры, которая сама собой напрашивалась, заключалась в решении уравнений третьей степени. Заслуга ее разрешения (1541) принадлежит талантливому итальянскому математику Тарталье (около 1501—1557 гг.). Однако, по поводу этого открытия возник чрезвычайно резкий спор о приоритете между Тартальей и другим итальянским математиком Карданом (1501—1576). Авторы математических открытий, дававших ключ к решению сложных задач, в те времена старались держать свои открытия втайне, чтобы привлечь в свою школу больше учеников и чтобы блистать на обычных в то время математических турнирах. Поэтому и Тарталья хранил в глубокой тайне, найденное им решение уравнений 3-ей степени. Но Кардану удалось склонить Тарталью сообщить ему свое открытие, обещав хранить его в глубокой тайне. Однако Кардан нарушил обещание и в своем сочинении «Ars magna, quam vulgo Cossam vocant» (1545) опубликовал решение уравнений 3-ей степени от своего имени, уверяя, что ему был сообщен только окончательный результат. Не лишено действительно возможности, что Кардан, пользуясь формулой Тартальи, и придумал собственный ее вывод. Во всяком случае, вследствие появления формулы, выражающей корни уравнения третьей степени, в книге Кардана и вследствие успехов последнего на турнире с Тартальей, эта формула по настоящее время сохранила имя Кардана. В том же сочинении Кардана сообщено решение уравнение 4-ой степени, открытое его учеником Феррари.

Этими открытиями, как будет выяснено ниже, был однако положен предел исследованиям в этом порядке идей, и ими заканчивается средневековая алгебра. Широкому развитию, которое алгебра получила в новое время, она обязана, помимо общего развития математических идей, с одной стороны, переходу от синкопированных обозначений к независимым символам, а с другой стороны, эволюции понятия о числе — введению отрицательных и мнимых чисел.

Переход к символической алгебре совершился, конечно, постепенно; так, например, в арифметике Видмана, появившейся в 1489 г., мы находим уже знаки + и —; символические обозначения встречаются в первой половине XVI ст. у немецких математиков Рудольфа, Шрейбера (известного под именем Grammateus), Штифеля и др. Но настоящим отцом символической алгебры является знаменитый французский математик Виет (в латинской транскрипции Vieta, 1540—1603). В своем главном алгебраическом сочинении: «In artem analyticam isagoge» (1591) и затем в целом ряде других сочинений, посвященных, главным образом, приложениям алгебры к геометрии, Виет вводит буквенные обозначения, как для неизвестных, так и для данных величин; это приводит его к алгебраическим выражениям почти в том виде, как мы их привыкли видеть. В ту пору, когда книгопечатание уже быстро развивалось, новые идеи скоро получали распространение; при громкой же славе Виета, его сочинения стали скоро известны всякому математику. Благодаря ли этому, или благодаря тому, что идеи эти уже созрели, но в течение следующего столетия символическая алгебра быстро развивается и получает распространение повсюду. Было бы однако большой ошибкой думать, что введением символических обозначений ограничиваются заслуги Виета. Напротив, вряд ли не наибольшее значение имеет его метод алгебраической разработки геометрических задач, решение задач на построение при помощи предварительного вычисления. Виет первый твердо встал, таким образом, на путь, противоположный тому, по которому шли греки, и, несомненно, подготовил почву Декарту и аналитической геометрии вообще.

Неизмеримо большее затруднение, чем введение алгебраического символизма, встретило введение отрицательных и мнимых чисел. Мы видели, что отрицательными числами оперировали уже индусы; вместе с арабскими источниками они проникли в Европу, но то «противление отвлеченным отрицательным числам», о котором говорит еще Бхаскара, тяготело над ними еще очень долго. Пачиоли и Кардан имеют еще чрезвычайно смутное представление об отрицательных числах; Виет же вовсе не признает отрицательных решений уравнения. Первым математиком, который систематически пользуется отрицательными числами, был англичанин Гарриот (1560—1621), который и в деле развития символической алгебры сыграл очень важную роль; англичане и французы немало спорили о приоритете открытий Гарриота и Виета. Однако, полное признание отрицательные числа получили только после Декарта, когда он в своей «Геометрии» (1637) наглядно выяснил их значение.

Еще гораздо медленнее шло дело с признанием мнимых чисел. О том, что квадратное уравнение не имеет решений, когда под корнем находится отрицательное число, хорошо знали и древние, и средневековые математики; но прийти этому на помощь введением нового рода чисел — эта идея пришла нескоро. Побудительным поводом к тому послужила именно формула Кардана, выражающая корни кубического уравнения. Очень скоро заметили, что в том именно случае, когда уравнение имеет три вещественных корня, квадратные корни в формуле Кардана должны извлекаться из отрицательных чисел; никакие усилия отделаться от этих корней из отрицательных чисел, которые стояли на пути решения кубического уравнения, несомненно, имевшего корни, ни к чему не приводили; гораздо позднее было доказано, что этого и нельзя сделать. Это именно обстоятельство побудило итальянского математика Бомбелли («L’Algebra», 1572) попытаться оперировать над получающимися «невозможными радикалами, как будто это были бы числа»; этим путем он действительно получил скрывающиеся под мнимой формой вещественные корни уравнения 3-ей степени.

Так полусознательно были призваны к жизни эти «невозможные числа», операции над которыми все же приводят к правильным результатам. Но прошло почти два столетия, пока они получили право гражданства. Гарриот, так смело признавший отрицательные числа, отступил перед мнимыми. Гение Декарта, Ньютона, Лейбница не хватило, чтобы выяснить истинную природу этих чисел и спокойно ввести их в науку на равных правах с обыкновенными числами. Это и неудивительно: для того, чтобы значение не только комплексных (мнимых), но даже и отрицательных чисел приобрело кристаллическую ясность, должен был произойти глубокий переворот в наших воззрениях на то, что собственно такое число (см.), и даже в наших взглядах на сущность и значение математики вообще. Это осуществилось лишь в XIX столетии, а до того на мнимые числа смотрели, как на нечто, мало объяснимое. «Из иррациональностей», говорит Лейбниц, «возникают количества невозможные, или мнимые, удивительной природы, но пользы которых все же невозможно отрицать... Это есть тонкое и чудное пристанище человеческого духа, нечто, пребывающее между бытием и небытием». Но все же, полусознательно оперируя над этими количествами, названные выше гениальные математики, а за ними Маклорен, Кемпбель, де-Муавр и, наконец, Эйлер постепенно разработали арифметику мнимых чисел.

До тех пор, пока не были категорически признаны отрицательные и мнимые, или, как их теперь правильнее называют, комплексные числа, нельзя было утверждать, что каждое алгебраическое уравнение имеет корень и что уравнение n-ой степени имеет n корней, ибо такая теорема несправедлива, если не учитывать отрицательных и мнимых корней. Но таков уж характер развития каждой науки, что она часто забегает далеко вперед того, что может уже сделаться ее твердым достоянием. Эту основную теорему алгебры высказал впервые французский математик Жирар (1629), ясно сознававший, что ему нужны для этого мнимые числа; он говорит даже, что мнимые числа для того и нужно ввести, чтобы получить это прекрасное предложение. Но в то же время Гарриот не только знал эту теорему, но указал даже разложение целой алгебраической функции на линейные множители; а между тем мнимых чисел Гарриот отнюдь не признавал. Этой основной теоремой после Жирара и Гарриота часто пользовались другие математики, далеко не мирившиеся с комплексными числами. И таким именно образом, ощупью, так сказать, в полусвете были найдены зависимости между корнями уравнения и его коэффициентами; замечательно, что эти зависимости были впервые указаны Виетом, который также ничего о мнимых величинах не знает. В руках Ньютона эти замечательные соотношения составили основу теории симметрических функций (см.) корней уравнения, а вместе с тем основу новой теории алгебраических уравнений.

Мы указали, что математики, высказавшие впервые основную теорему алгебры, что каждое алгебраическое уравнение имеет корень, должны были владеть отрицательными и комплексными числами. Но и при наличности этих средств это далеко не очевидно, и доказательство этого предложения потребовало больших усилий. Первое удовлетворительное доказательство было дано (1797) знаменитым германским математиком Гауссом, который потом дал еще три доказательства; позже этих доказательств было дано очень много; наиболее замечательное из них, вошедшее во все учебники, принадлежит французскому геометру Коши (1837); но детальная обработка этих доказательств, доводящая их до полной строгости, принадлежит уже самому последнему времени.

Но между тем, как эти теоретические исследования шли довольно успешно, дело обстояло гораздо хуже с решением прямой задачи алгебры. После того, как было найдено общее решение уравнений третьей и четвертой степени, было естественным шагом вперед искать общее решение уравнений 5-ой степени. Трудно себе представить, сколько усилий было безуспешно затрачено для этой цели. Это была одна из немногих задач, которая представляла собой в полном смысле слова камень преткновения человеческой мысли. В периоде этих поисков и часто при этих поисках были даны многочисленные другие методы решения уравнений 2-ой, 3-ей и 4-ой степени. Из этих методов нужно особенно подчеркнуть метод Лагранжа (1736—1813), выяснивший роль симметрических функций в процессе решения уравнений. Лагранж показал в своей работе «Inflexions sur la resolution algеbrique des equations» (1770—71), какие затруднения стояли на пути применения тех же идей к решению уравнений пятой степени.

Формулы, помощью которых решались уравнение 2-ой, З-ей и 4-ой степени, содержат точные значения корней этих уравнений, которые получаются путем производства над коэффициентами действий сложения, вычитания, умножения, деления, возвышения в степень и извлечение корня. При помощи тех же операций старались выразить и корни уравнений высших степеней, потому что арифметика выработала удобные приемы для производства этих действий с точностью, когда это возможно в рациональных числах, и с желательным приближением в противном случае. Когда все усилия решить при помощи тех же действий уравнения 5-ой степени ни к чему не привели, то возник вопрос, достаточны ли эти операции для указанной цели, можно ли дать точное выражение корней уравнения 5-ой степени, пользуясь этими только действиями. Итальянский математик Руффини (1765—1822) в 1798 г. впервые попытался дать доказательство, что этого выполнить невозможно, иными словами, что тех средств, при помощи которых могут быть решены уравнение первых четырех степеней, уже недостаточно для решения уравнение пятой степени. Однако, доказательство Руффини не удовлетворило математиков, и норвежскому математику Абелю (1802—1829), успевшему в течение своей короткой жизни обогатить величайшими открытиями различные отделы математики, принадлежит заслуга точного доказательства этого замечательного предложения. Позднее это предложение получило несколько существенно различных доказательств. Сущность предложения заключается собственно в том, что не всякое уравнение пятой степени может быть решено указанными средствами. Существуют уравнения 5-ой и более высоких степеней, для которых это возможно, но они составляют редкие исключения. Поэтому общих формул, выражающих корни уравнений высших степеней при помощи рациональных операций и радикалов, дать невозможно.

Когда выяснилось, что уравнение высших степеней в указанном смысле слова не разрешаются, то дальнейшее развитие алгебры пошло в двух направлениях. Во-первых, были предложены методы приближенного решения уравнения, все коэффициенты которого численно заданы (теория численного или арифметического решения уравнений); во-вторых, за отсутствием возможности решить при помощи рациональных действий и радикалов все уравнения высших степеней, возник вопрос о том, какие же собственно уравнения высших степеней решаются этими средствами (теория алгебраического решение уравнений).

Нужно, впрочем, сказать, что методы численного решения уравнений стали вырабатывать еще задолго до того, как была доказана теорема о невозможности общего решения уравнений высших степеней. Стремление найти такие методы обусловливалось еще тем, что формулы Кардана и Феррари для решения уравнений 3-ей и 4-ой степени очень сложны. Метод приближенного решения численных уравнений заключается в том, что сначала находят грубые пределы, в которых содержится только один корень уравнения; теоретически лучший прием для этого был указан (1829) французским математиком Штурмом (1803—55); на практике же пользуются менее совершенным теоретически, но более удобным приемом Фурье (1768—1830). Когда грубые пределы, между которыми содержится  один корень уравнения, уже известны, то мы можем к нему приблизиться значительно быстрее. Однако, хотя приемы для этого были предложены Ньютоном, Фурье, Лагранжем, Горнером и др., нужно сказать, что методы, которыми мы владеем для приближенного вычисления корней численных уравнений, еще крайне несовершенны, и практическое решение этой задачи в каждом частном случае требует большого труда.

Чтобы легче справиться с этими практическими задачами, предложены даже механические средства: предложены особые приборы для решения уравнений (машины Раунинга, Экснера, Гранта, Торреса и др., см. числительные машины) и даже физические методы — гидростатический и электрический.

Что касается теории алгебраического решения уравнений, то основная ее задача была решена при условиях совершенно исключительных. Юноша, еще не сошедший со школьной скамьи, в небольшом мемуаре дал методы, содержавшие в себе, по существу, целую науку. Этот юноша был молодой французский офицер Эварист Галуа (1811—1832). Он написал замечательный мемуар по вопросу об уравнениях, которые могут разрешаться в радикалах, и представил его во французскую академию; мемуар этот однако не был оценен. 30 мая 1832 г. 20-тилетний Галуа должен был драться на дуэли со своим товарищем. Ночь перед дуэлью он употребил на то, что написал пространное письмо своему другу Шевалье; в этом письме он излагает результаты своих исследований по теории решения алгебраических уравнений, которые он не желал бы унести с собой в могилу. На следующий день этот, быть может, талантливейший математик XIX столетия погиб, а его замечательное завещание сохранило потомству ряд чрезвычайно оригинальных и глубоких идей, выясняющих, от чего собственно зависит возможность решить уравнение в радикалах. Развитие этих идей разрослось в настоящее время в обширную самостоятельную дисциплину.

В предшествующем очерке изложены важнейшие моменты в истории развития алгебры. Детальная разработка изучаемых ею вопросов имеет специальный характер и приводит к целому ряду отдельных дисциплин. Укажем, например, теорию определителей (см.), которая возникла на почве решения системы уравнений первой степени, — теорию алгебраических чисел, изучающую числовой характер корней алгебраических уравнений (см. теория чисел) и т. д., теорию групп, изучающую системы перестановок и т. д.

Наиболее полным и современным трактатом по алгебре является соч.: Н. Weber, «Lehrbuch der Algebra» в 3 томах (1898—1908). Более доступное соч.: J. Tannery, «Lemons d'Algbbro et d’Analyse» (2 т., 1906), содержащее низшую алгебру и сравнительно элементарные части высшей. На русском языке по высшей алгебре имеются курсы профессоров Ю. В. Сохоцкого, М. А. Тихомандрицкого, М. Е. Ващенко-Захарченко. Научное изложение элементарной алгебры можно найти в соч. Г. Вебер и И. Вельштейн, «Энциклопедия элементарной математики», т.I. (Одесса, 1907).

В. Каган.