Арифметика (математика)

Арифметика есть первая составная часть математики, имеющая своим предметом изучение чисел и действий, над ними производимых. Первая задача, которая здесь возникает, —  выработать удобные приемы для производства счета и для отметки или записывания получаемых результатов (чисел), — несмотря на кажущуюся простоту, представляла собой едва ли не труднейшую задачу человеческой мысли; успешное же ее разрешение, данное индусами и перешедшее от них через арабов в Европу, знаменовало, быть может, важнейший шаг в истории точного знания (см. счисление).

Знаниями по арифметике несомненно владели финикияне, хотя мы не имеем точных сведений об объеме и характере этих знаний. Древнейшим памятником египетской арифметики является иератический папирус из коллекции Ринда в Британском музее, написанный жрецом Ахмесом; это сочинение относят к XVII—XVIII веку до Рождества Христова, некоторые же авторы — к еще более ранней эпохе. Та часть этого сочинения, которая посвящена арифметике, не содержит никаких общих правил или теорем относительно производства действий. Простейшие действия над целыми числами в то время уже производились, вероятно, при помощи счетной доски (см. ниже); большие затруднения при тяжеловесном счислении и при иероглифическом и даже иератическом изображении чисел представляли действия над дробями; для упрощения этих действий каждую дробь старались представить в виде суммы дробей, имеющих числителями единицу. Ахмес дает ряды таких преобразований (например 2/43=1/42+1/86+1/129+1/301); чтобы взять 1/5 от 2/43, Ахмес предлагает взять 1/5 от 1/42, от 1/83, от 1/129, от 1/103. Из этого примера видно, как необычайно громоздки были вычисления. Общих правил для этих преобразований Ахмес также не дает; он приводит еще ряд отдельных задач с их решениями, не указывая, как они были получены. Время, когда был составлен папирус Ахмеса, (возможно, что последний был лишь простым переписчиком), было эпохой расцвета египетской математики, и все следующее тысячелетие, кроме широкого распространения и некоторого усовершенствования счетной доски, ничего в арифметики не внесло; египетскому математику недоставало хорошей системы счисления.

Недалеко ушли и вавилоняне, но они вместо египетского разложения дробей выражали дроби в шестидесятых долях, которые вновь раздроблялись на шестидесятые части, и т. д.; эти дроби соответствуют нашим десятичным дробям в шестидесятеричной системе счисления, которая была распространена у вавилонян (см. счисление).

Греки заимствовали у египтян и вавилонян их способы счисления и счетную доску — абак. Описание важнейших типов этого прибора, господствовавшего в течение почти трех тысячелетий во всех культурных странах, будет дано в статье числительные машины; здесь укажем только, что этот прибор давал возможность выражать число в десятичной (хотя и не вполне выдержанной) системе и чисто механически производит сложение и вычитание целых чисел; в дальнейшем развитии им пользовались также для простейших случаев умножения и деления и действий над небольшими дробями. Русские торговые счеты, собственно, представляют собой разновидность абака.

Греки были замечательными геометрами, но в практическую науку чисел они внесли не так много. Эту практическую сторону дела уже Платон резко отличал от теоретической, присваивая название «арифметики» только последней в отличие от «логистики» — искусства производить вычисления. И именно теоретические результаты, добытые греками, имеют высокое значение; но интерес к этим изысканиям был у греков почти всегда связан с их приложением к геометрическим исследованиям. Впрочем, пифагорейцы (VI — V ст. до Рождества Христова), как известно, смотрели на числа, как на основу мироздания; но они были больше заняты мистическим одухотворением чисел, чем арифметическим. Некоторые любопытные подразделения чисел, введенные ими (см. число) относятся скорее к теории чисел (см. ниже), чем собственно к арифметике, но и там они серьезного значения не имеют. Существеннее то, что пифагорейцы ввели понятия об арифметической, геометрической и гармонической пропорциях. Нужно, однако, сказать, что наши сведения о пифагорейской арифметике имеют позднейшее происхождение; что собственно дали пифагорейцы, и что заимствовано Евклидом от них, остается невыясненным.

Бессмертные «Начала» Евклида (III ст. до Рождества Христова) есть сочинение геометрическое; но при том глубоком развитии, которое геометрия в нем получает, нельзя было не столкнуться с целым рядом арифметических вопросов. Учение о подобных фигурах неразрывно связано с теорией пропорций; и Евклид действительно строит замечательную теорию пропорций, применяющуюся не только к тем геометрическим величинам, которые имел в виду автор, но и ко всем измеримым величинам вообще. Книги VIII—IX «Начал» посвящены уже непосредственно числам, хотя внешним образом Евклид и здесь остается на геометрической почве, изображая числа отрезками, уподобляя их произведения прямоугольникам и т. д. Здесь мы впервые находим определение простого числа и доказательство предложения, что простых чисел существует бесчисленное множество; здесь дан способ нахождения общего наибольшего делителя последовательным делением, составляющий и по настоящее время основу теории чисел и даже алгебры, — указаны способы нахождения общего наибольшего делителя и наименьшего кратного нескольких чисел. Немногим позже Эратосфен (276—194) указал способ отделения простых чисел, и таким образом к концу III ст. до Рождества Христова уже была построена и логически обоснована вся так называемая элементарная теория делимости целых чисел. Но Евклид пошел дальше; Х книга «Начал» посвящена учению об иррациональных величинах; здесь геометрическая форма изложения имеет еще более глубокую почву, так как отношения несоизмеримых отрезков — Евклид, а за ним и другие греческие писатели, решительно не признают числом; для греков существовали только рациональные числа. Но помимо этих чисто арифметических книг, мелкие теоремы, особенно во II книге Евклида, представляют собой только геометрическое выражение общих арифметических истин. Так, предложение IV гласит, что квадрат, построенный на  сумме двух отрезков, равен сумме квадратов, построенных на этих отрезках, и двух прямоугольников, сторонами которых также служат эти отрезки. Ясно, что это есть геометрическая формулировка теоремы о квадрате суммы двух количеств.

Что касается счетных операций, то все, что выходило за пределы абака, встречало величайшие затруднения, и сравнительно простое, на наш взгляд, вычисление могло быть выполнено только гением Архимеда (см.). Этот величайший геометр сделал попытку (II в. до Рождества Христова) приспособить греческое счисление к выражению весьма больших чисел и посвятил этому особое сочинение «О счете песка». Здесь проводится та же идея производства счета при помощи групп возрастающих в геометрической прогрессии, которая служит основанием нашего устного счисления; но она растворилась в господствовавшей тяжелой системе счисления и осталась лишь памятником борьбы гения с этой системой.

Систематическое изложение арифметики, совершенно уже освобожденное даже от внешней связи с геометрическими образами, появляется в Греции впервые, по-видимому, около начала II столетия после Рождества Христова. Речь идет о книге Никомаха из Геразы (Аравия) «Εξσαγωγη αριφμητιχη», более известной по латинскому переводу под названием «lntroductio Arithmetica». Книга эта содержит систематическую сводку всего, что было сделано по арифметике пифагорейцами, Евклидом, Эратосфеном и другими; она носит также строго теоретический характер, и практических правил для производства арифметических операций мы в ней не находим вовсе. Книга эта получила весьма широкое распространение, и некоторые авторы склонны приписывать ей в арифметике то же значение, какое имеют «Начала» Евклида в геометрии; однако, это совершенно несправедливо: в разработке материала книга Никомаха носит даже явные следы эпохи упадка. Несравненно выше Никомаха стоит Диофант (III—IV ст. по Рождеству Христову), но его замечательная «Арифметика» в действительности относится уже к алгебре.

Римляне не внесли в историю арифметики, можно сказать, ничего. Они пользовались не менее тяжеловесной системой счисления, чем греки, а вычисления производили при помощи абаков несколько иных типов. Нужно только отметить, что у римлян были распространены двенадцатеричные деления мер и двенадцатеричные дроби вместо вавилонских шестидесятеричных. Единственное выдающееся сочинение по арифметике в римской литературе, «De institutione Arithmetica» Боэция (V—VI ст. по Рождеству Христову), представляет собой лишь перевод книги Никомаха и отчасти переработку ее, даже уступающую оригиналу.

Угасшее с упадком греческой культуры математическое творчество возродилось в Индии. Индусские математики, в противоположность грекам, были плохими геометрами; это были астрономы, разрабатывавшие арифметику, поскольку она была им нужна для астрономических вычислений; наиболее замечательны из них — Арьябхатта (V ст.), Брахмагупта (VI ст.) и гораздо позже Бхаскара (ХII ст.); в их астрономических сочинениях арифметике посвящены отдельные главы. Индусы твердо ввели десятичную систему и основной принцип письменного счисления, по которому значение цифры зависит от места, занимаемого ей в изображении числа; кроме того, они ввели в употребление 0 (нуль), что имело необычайно большое значение для системы счисления. В соответствии с этим они выработали также весьма совершенные правила производства арифметических действий, хотя еще значительно отличные от тех, которыми мы пользуемся теперь; это обусловливалось, между прочим, тем, что индусы писали на досках, посыпанных цветным песком, с которых было очень легко стирать написанное: к этому и были приспособлены вычисления. Индусам принадлежит также известный способ поверки действий числом 9. Кроме того, индусы хорошо владели всеми тройными правилами и умели суммировать арифметическую и геометрическую прогрессии. Наконец, индусы первые ввели в употребление отрицательные и иррациональные числа в чисто арифметическом их значении. На положительные и отрицательные числа индусы смотрели, как на «имущества» и «долги», но Бхаскара умеет уже перемножать эти числа и знает правила знаков; нужно сказать, однако, что зачатки этой теории встречаются уже и у Диофанта (см. алгебра).

Арабы в короткий период своего духовного подъема заимствовали арифметику от индусов, но сами, можно сказать, ничего в нее не внесли; греческие авторы, получившие у них распространение, при том авторитете, которым у них пользовалась греческая наука вообще, быть может, имели на них даже отрицательное влияние. Наиболее выдающийся из арабских математиков был Мухамед Ибн Муза Алхваризми; но его роль в алгебре была несравненно выше, чем в арифметике.

Арабы перенесли индусскую арифметику в Европу, и это большая их заслуга; наша система счисления и наши цифровые знаки долго считались даже арабскими. Перевод арабских рукописей на латинский язык начинается в XII столетии. Однако, индусская система должна была выдержать упорную борьбу с абаком, укоренившимся в Европе. Математики даже разделились в этом отношении как бы на два лагеря: абацистов, работавших абаком (к числу их принадлежит даже такой выдающийся человек, как Герберт), и алгорифмиков (см. алгортм), придерживавшихся определенных правил вычисления по индусско-арабской системе. Можно сказать, что эта борьба началась знаменитой книгой Леонарда Пизанского «Liber abaci» (1202 г., второе изд. в 1223 г.) и закончилась трактатом Луки Пачиоли «Summa de Arithmetical (1494). Книга Леонарда является первым сочинением, в котором твердо и настойчиво проводится индусская система; она была даже усовершенствована талантливым автором, давшим новые методы вычисления. «Liber abaci» получил очень широкое распространение; Леонард Пизанский, а не Никомах мог бы, пожалуй, соперничать с Евклидом по тому значению, какое приобрела его книга. Но прошло три столетия, пока новая система получила всеобщее признание, пока выработались общепринятые обозначения, пока методы вычисления приняли наиболее подходящую форму, приспособились к бумаге и чернилам, пока они вылились в книге Пачиоли в ту форму, которая в остове своем, можно сказать, и по настоящее время остается типом элементарного руководства по арифметике В 1482 г. вышла в свет первая печатная арифметика Вагнера в Бамберге.

Впрочем, двух существенных улучшений еще требовала арифметика времен Пачиоли. Во-первых, нужно было усовершенствовать счет больших чисел. Введенное индусской системой, счисление по разрядам оказывалось недостаточным для очень больших чисел, так как каждому разряду приходилось давать новое название; идею эту нужно было развить подразделением чисел на класс — задача, которую наиболее удачно разрешил даровитый французский ученый Шюке (конец ХV в.), введший счет биллионами, триллионами и т. д. Впрочем, в Германии утвердилась позже несколько видоизмененная система. С другой стороны, приближенные вычисления при делении, при извлечении корней стали наводить различных математиков на мысль о распространении десятичного счисления на числа, меньшие единицы; в ясной и определенной форме учение о десятичных дробях изложено в первый раз в небольшом сочинении замечательного бельгийского ученого Симона Стевина (1548—1620) «Le Disme», появившемся в 1585 г. Замечательно, что Стевин настаивал также и на десятичном подразделении мер, — идея, нашедшая всеобщее признание и применение лишь через 3 столетия.

С введением десятичных дробей, приближенные вычисления, каковые в подавляющем большинстве случаев приходится производить, можно было доводить уже до высокой степени точности. Но огромное усовершенствование в этом деле было достигнуто, когда барон Непер (1550—1617) открыл логарифмы. Этот глубокий мыслитель всю жизнь был занят упрощением и приведением в систему арифметики, алгебры и тригонометрии; в каждую из этих отраслей он внес существенные вклады, но наиболее ценными являются его сочинения «Mirifici logarithmorum саnоnis descriptio» (1614) и «Mirifici logarithmorum canonis constructio» (1619), где помещены логарифмы синусов для углов первой четверти от минуты к минуте и объяснено их употребление. Логарифмы Непера несколько отличаются от того, что мы теперь называем «натуральными» логарифмами (см. логарифмы). Употребление логарифмов было значительно облегчено, когда Бригг и его последователи перечислили их к основанию 10 и издали так называемые обыкновенные логарифмы.

С введением индусской системы счисления, десятичных дробей и логарифмов арифметика достигла высокой степени совершенства. Но вместе с тем мы приходим к эпохе, когда зародился анализ бесконечно малых, и все усилия математиков были направлены к развитию нового исчисления. Здесь арифметика играла лишь служебную роль и в течение двух столетий находилась, можно сказать, в пренебрежении.

Однако, в истекшем столетии математика вновь возвратилась к арифметике и притом с различных сторон. От арифметики ответвляется, прежде всего, дисциплина, получившая название теории чисел (см.). Зачатки этой дисциплины мы находим уже у древних (у пифагорейцев, Евклида и Диофанта); в XVII столетии важные открытия в этой области сделал Ферма (1601—1665). Эта дисциплина посвящена изучению таких свойств целых чисел, которые не имеют прямого отношения к производству вычислений, но которые проистекают, главным образом, из учения о делимости и находятся в связи с вопросами, стоящими на рубеже между арифметикой и алгеброй (подробнее см. теория чисел). С другой стороны, обширные вычисления, которые в настоящее время производятся в различных отраслях точного знания, потребовали усовершенствования их, как в смысле возможного их упрощения, так и в смысле гарантии определенной и выдержанной степени точности. Для этой цели, независимо от теоретических усовершенствований, придуманы числительные машины, логарифмические линейки и другие приборы (см. числительные машины), многообразные таблицы (см. математические таблицы), графические методы и графические таблицы. Этот отдел представляет собой непосредственное развитие основных задач арифметики; к нему должна быть отнесена и коммерческая арифметика (см.), которая имеет целью дать наиболее практичные методы для вычислений, производимых в торговой практике; нужно, впрочем, сказать, что методы коммерческой арифметики тоже имеют зачатки уже в древности.

Совершенно иные задачи преследует так называемая теоретическая арифметика. Она возникла на почве обнаружившейся в истекшем столетии необходимости дать более глубокое и более тщательное обоснование всего математического анализа. Для этого пришлось обратиться, прежде всего, к арифметике, выяснить ее начала или в основные посылки, из которых арифметика может быть построена строго логически без пособия интуиции. Эти тенденции стоят в связи с философскими вопросами о сущности числа и арифметических  операций, об источнике наших арифметических познаний (сравни математика). Этими вопросами много занимались также философы, но математики второй половины истекшего столетия подошли к ним совсем с другой стороны, чуждой всякой метафизики, со строго математическими методами исследования. Первую, если не законченную, то во всяком случае успешную попытку обосновать арифметику в этом именно смысле слова дал Герман Грассман (см.) в небольшом сочинении «Lehrbuch der Arithmetik» (1861). После него этим вопросом много занимались выдающиеся математики —  Вейерштрасс, Дедекинд, Г. Кантор и др. Вопрос не может считаться исчерпанным и по настоящее время; главные трудности сосредоточены в обосновании теории целых чисел, остальное уже выводится без больших затруднений.

Наиболее полное изложение теоретической арифметики в современной обработке содержится в сочинении О. Stolz und J. Chneiner, «Thcoretische Arithmetik» (1902). На русском языке научное изложение арифметики можно найти в I томе переводного сочинения Г. Вебер и И. Вельштейн, «Энциклопедия элементарной математики» (1907).

В. Каган.