Двучлен

Двучлен, или бином, алгебраическое выражение, состоящее из суммы или разности двух количеств. Бином Ньютона — формула, данная Ньютоном в 1676 г. без доказательства и высеченная на его гробнице в Вестминстерском аббатстве. Она изображается в таком виде:

Посредством этой формулы можно выразить какую угодно степень двучлена помощью многочлена, расположенного по убывающим степеням первого члена бинома и по возрастающим степеням второго. Исследование второй части формулы приводит к следующим заключениям: 1) Сумма показателей обеих букв в каждом члене равна n, т. е. показателю степени двучлена; 2) так как в последовательных членах показатели одной из букв х или а переходят чрез все значения от 0 до n включительно, то число членов второй части равно числу чисел 0, 1, 2, 3...n, т. е. равно n+1; 3) (k+1)—ый член многочлена, т. е. любой член (если придавать букве k всевозможные значения), который мы обозначим буквой T_k+1, выразится таким образом:

где C_n^k есть число сочетаний из n по k; 4) для перехода от одного члена к следующему, надо понизить на единицу показатель первой буквы х и повысить на единицу показатель второй буквы а. Для составления коэффициента нового члена надо взять коэффициент последнего из составленных членов, помножить его на показателя первой буквы х в этом члене и разделить на число составленных членов; 5) коэффициенты членов многочлена, равно удаленных от начала и конца его, равны между собой; коэффициенты двучлена называются биномиальными коэффициентами.