Инварианты и инвариантные свойства

Инварианты и инвариантные свойства. Рассмотрим алгебраическую форму (т. е. целый однородный многочлен) f (x₁, х₂, . . . х_n) m-ой степени с n переменными. Выполним в ней какую-нибудь линейную подстановку; тогда форма f (х₁, . . . , х_n) примет вид f (y₁, . . , y_n), где y₁, y₂, . . , у_n — новые переменные, причем коэффициенты а', b', с', . . . полученной формы будут функциями коэффициентов а, b, с, . . . первоначальной формы и коэффициентов преобразования. Обозначим через Δ модуль подстановки, равный определителю Якоби

D (x₁, x₂, .., x_n)/D (y₁, y₂, .., y_n)

Если, каковы бы ни были значения коэффициентов подстановки, всегда имеет место соотношение φ (а', b', с', . . . ) = Δ^K.φ (а, b, с, . . . ), то выражение φ (а, b, с, . . .) называется инвариантом формы f (х₁, х₂, . . . , x_n). Если k = 0, то φ (а, b, . . .) называется абсолютным инвариантом. Квадратичная и бинарная кубическая форма не имеют абсолютных инвариантов, в остальных же случаях, если р есть число коэффициентов формы, а n — число переменных, то форма имеет р—n² абсолютных инвариантов. Форма не может иметь более одного простого инварианта, если она не имеет абсолютного инварианта. Так, всякая квадратичная форма имеет только один инвариант, именно свой дискриминант. В случае ортогональности линейного преобразования мы имеем Δ = ±1, и соответствующие инварианты называются ортогональными, их число больше числа обыкновенных инвариантов. Ортогональные инварианты имеют большое приложение в геометрии, так как преобразования координат относятся к числу ортогональных преобразований. Условия, налагаемые на такие инварианты, выражают свойства фигур, не зависящие от расположения осей координат. Теория инвариантов основана, главным образом, трудами английских математиков Кэли и Сильвестра. Как показали Бриоски, Дарбу, Альфен, инварианты оказывают также существенную пользу в теории линейных дифференциальных уравнений. Обобщая понятие инвариантов, можно говорить про инвариантные свойства, например, множителя системы линейных дифференциальных уравнений. Пуанкаре ввел важное понятие интегральных инвариантов, имеющих большое значение в изучении устойчивости движения. Можно искать также инвариантые свойства выражений относительно групп бесконечно малых преобразований. Так, Э. и Ф. Коссра, введя понятие действия преобразования, показали, что из инвариантности действия при группе бесконечно малых эвклидовских перемещений можно придать механике дедуктивную форму и представить современную теоретическую физику, как непосредственное продолжение механики.

Литература: Чезаро, «Элементарный учебник алгебраического анализа», т. I; Andoyer, «Théorie des formes»; Сальмон, «Аналитическая геометрия»; Poincaré, «Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste», т. III.

А. Некрасов.