Корень (математический)

Корень. Пусть будет А какое-нибудь арифметическое число, т. е. число, взятое без знака. Арифметическим корнем n-ой степени из числа А называется такое арифметическое число В, n-ая степень которого равна А, т. е. Вⁿ=А. Определение числа В называется извлечением корня из числа А и есть действие, обратное возведению в степень.

Корень изображается знаком ⁿ√А = В; знак √ есть измененное написание буквы r (латинский radix — корень). Можно доказать, что существует одно и только одно арифметическое число В, представляющее корень n-ой степени из арифметического числа А. Ряд рациональных чисел недостаточен, чтобы представить арифметический корень из всех рациональных чисел, и извлечение корня привело к новым числам — иррациональным (см. число). Введение алгебраических чисел под знак корня приводит к еще большим обобщениям. Так, квадратный корень +√—1 не может быть выражен ни через какое рациональное или иррациональное положительное или отрицательное число и представляет новый символ — мнимое число (см. число), который изображается через +i = +√—1. Все остальные мнимые числа выражаются через символ i. Алгебраическим корнем n-ой степени из алгебраического числа А называется каждое из n решений двучленного уравнения Хⁿ= А; левое из них обозначается также знаком ⁿ√А. Совокупность всех действительных и мнимых рациональных и иррациональных чисел составляет группу по отношению к действию извлечения корня, т. е. все извлечения корня из них приводят к тем же символам. Так, например, если (+В)ⁿ = +А, то все n значений корня ⁿ√+А представятся формулой

ⁿ√+А = +В·cos(2πm/n + i·sin2πm/n), где m = 0, 1, 2,…, n-1.

Определение алгебраического корня включает в себе задачу определения арифметического корня; последняя задача для корней квадратных и кубичных решается по формулам (а + b)² и (а + b)³; для определения же корней высших степеней обыкновенно прибегают к логарифмам.

Л. Некрасов.