Квадратура

Квадратура обозначает несколько родственных понятий;

I) квадратурой называется определение площади фигуры, т. е. определение отношения данной площади к площади квадрата, принятого за единицу меры площадей. Квадратурой  называется также построение квадрата, равновеликого площади данной фигуры, причем построение должно быть выполнено геометрическими приемами. Очевидно, что эта последняя задача содержит в себе первую. Квадратуры  элементарных прямолинейных плоских фигур, например, прямоугольника, треугольника, выполнены еще в древности, причем всегда можно построить квадрат, равновеликий такой площади, применяя только элементарные методы построения, т, е. пользуясь только циркулем и линейкой. Древности принадлежит также и выполнение квадратур  некоторых криволинейных фигур, например квадратура луночек Гиппократа, квадратура параболы, выполненная Архимедом (III в. до Рождества Христова), и научная постановка и приближенное решение знаменитой задачи о квадратуре круга, насчитывающей за собой свыше 3 000 лет и породившей вместе с глубокими изысканиями чрезвычайное множество заблуждений и фантазий. Открытие исчисления бесконечно-малых дало новые общие методы квадратуры. Квадратуры аналитически данных областей, вообще, приводятся к вычислению определенных интегралов, причем области, для которых такое приведение, возможно, называются квадрируемыми. Если область, подлежащая квадратуре, дана графически, то ее квадратуру можно выполнить механически при помощи особых приборов, называемых планиметрами. Наиболее известны планиметры Амзлера, Коради, Притца; они имеют широкое применение в межевом деле. Можно также разбить данную область поперечными прямыми на элементарные области, например, прямоугольники, трапеции, площади которых можно определить по правилам элементарной геометрии; в случае криволинейности контура его обыкновенно заменяют ломаной линией с большим или меньшим числом сторон в зависимости от требуемой точности.

Вследствие особой важности задачи о квадратуре круга, остановимся на ней несколько подробнее. Эта задача может быть формулирована следующим образом: построить, пользуясь только циркулем и линейкой, квадрат, равновеликий данному кругу. Если мы обозначим радиус круга через r, то на основании теорем геометрии будем иметь для длины окружности L выражение L = 2πr, где π есть отношение окружности к диаметру, а для площади круга S получим S = ½ Lr т. е. площадь круга равна площади треугольника, основанием которого служит длина окружности, а высотой — радиус. Таким образом, задача приводится: 1) к вычислению числа π; 2) к построению прямолинейного отрезка, длина которого равна длине окружности, или к спрямлению окружности. Архимед первый научно поставил эту задачу и, пользуясь методом, который и теперь излагается во всех элементарных учебниках геометрии, нашел приближенное значение π = ²²/₇ = 3 ¹/₇. Последующие математики определяли π все с большей точностью; так, Лудольф (XVI в.) нашел значение π с 35 десятичными знаками. Открытие исчисления бесконечно-малых дало новые, более простые методы вычисления числа π (так, Шенкс в XIX в. нашел π с 700 десятичными знаками) и позволило выяснить свойства этого числа. В 1766 г. Ламберт доказал иррациональность числа π, а в 1882 г. Линдеман дал доказательство его трансцендентности (см. число). Из предложения Линдемана следует, что окружность не может быть спрямлена не только такими геометрическими построениями, в которых пользуются прямыми и окружностями, т. е. линейкой и циркулем, но даже и такими, в которых пользуются любыми алгебраическими линиями и поверхностями. Из предыдущего ясно, что это же предложение имеет место и для квадратуры круга, т. е., в частности, квадратура круга циркулем и линейкой невыполнима, хотя численно площадь круга и может быть найдена с любой степенью точности.

II. Так как вычисление интеграла равносильно определению некоторой площади, то вычисление интеграла, как определенного, так и неопределенного, называется квадратурой. Существуют приборы, интеграфы, которые, по данной графически кривой, чертят интегральную кривую.

III. Квадратурой называется приближенное вычисление определенных интегралов. Существует несколько способов таких квадратур. Укажем только главные. 1) Если подынтегральная функция разлагается в достаточно быстро сходящийся ряд, то интегрируют этот ряд почленно, удерживая столько первых членов ряда, сколько требуется для желаемой точности результата. 2) Заменяют вычисление определенного интеграла вычислением определенной суммы по формуле Маклорена-Эйлера (см. исчисление конечных разностей). 3) Интерполируют подынтегральную функцию по способу параболического интерполирования (см. исчисление конечных разностей) и интегрируют полученную интерполяционную функцию. Таким образом, получаются формулы Котса, Симпсона, Гаусса. Эти формулы имеют большое значение в небесной механике и теоретической астрономии, где они часто применяются при числовом подсчете возмущений в движении планет или комет. Литература: Гурса, «Курс Анализа»,т. I, 1911 (русский перевод); Рудио, «О квадратуре круга»; Abdank-Abacanowicz, «Les intégraphes, la courbe intégrate et ses applications»; Tisserand, «Traité de Мécanique Сélèste».

А. Некрасов.