Математика

Математика. Слово математика происходит от греческого  μαθημα — преподаваемая наука. В пифагорейской школе различали четыре матемы (четыре степени мудрости): арифметику, музыку, геометрию, сферику. Позже греческие ученые стали различать пять математических наук: арифметику, геометрию, механику, астрономию, акустику. Из этих пяти наук арифметика и геометрия относятся в настоящее время к чистой математике (в более общем значении этого слова), прочие — к прикладной (конкретной) математике. Счет предметов, представляющих ценность, и измерение длин, площадей и т. д., составляющие предмет арифметики и геометрии, связаны настолько тесно с элементарными потребностями жизни, что начальные сведения в этой области имеются у всех народов, достигших какой-либо степени цивилизации; но как отвлеченные науки, как системы знаний, арифметика и геометрия — создание научного гения греков. Особенного развития в этом отношении достигла греческая геометрия; «Начала» Евклида составляют до сих пор лучшую систему геометрических положений и незаменимую школу логического мышления (см. геометрия). Основываясь на теоремах, изложенных в «Началах», греческие геометры (Евдокс Книдский, Аполлоний Пергийский, Паппус и мн. другие) перешли к изучению кривых, отличных от круга (конических сечений, спиралей и т. д.) и к решению вопросов об измерении площадей, ограниченных кривыми линиями, и объемов, ограниченных поверхностями; методы, изобретенные ими для решения этих последних задач, уже заключают в себе зародыш идей, положенных в основу современного интегрального исчисления. Греками было положено также начало и научной арифметике и алгебре. В «Началах» Евклида мы находим доказательство бесконечности ряда абсолютно простых чисел и алгоритм нахождения общего наибольшего делителя, лежащий в основании теории целых чисел. Зачатки современного алгебраического символизма мы находим в арифметике Диофанта, которая содержит в себе также решение неопределенных уравнений (в рациональных числах), почему теория чисел, большинство вопросов которой сводится к решению этих уравнений, еще недавно носила название анализа Диофанта. Но, полагая начало геометрии, с одной стороны, арифметике и алгебре, с другой, греческие математики резко обособляли эти две научные области. Иррациональные отрезки, к которым приводят простейшие геометрические теоремы (теорема Пифагора), и рациональные (дробные и целые) числа для них — две математические концепции, не имеющие ничего общего. Дальнейшее развитие алгебры (индусские и арабские математики, Виета; см. алгебра) привело к устранению этого обособления. Простейшие операции над числами и отрезками (тип непрерывной величины) совершаются по одним и тем же основным законам (коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность). В окончательном установлении общего понятия о числе и возможности сведения на число всякой непрерывной величины заключается величайшая заслуга Декарта. Установив, таким образом, тесную связь между геометрией и алгеброй, Декарт достиг двух целей: с одной стороны, дал новый метод решения геометрических вопросов (аналитическая геометрия), с другой стороны, показал возможность наглядного (графического) представления алгебраических образов и в частности графического решения уравнения. Но Декарт пошел и дальше: сведя вопросы формы и положения на вопросы учения о числе, он понял, что такое же сведение возможно и для других вопросов, и, по его образному выражению, «все науки, если сорвать с них маску, явятся во всей своей красоте, и тогда цепь наук представится рядом чисел». Таким образом, для Декарта математика представилась, как наука о величине и измерении, для которой безразличны самые предметы измерения: числа, фигуры, звезды, звуки и т. д. Но он и Лейбниц пошли дальше в вопросе о сущности математики, ставя наравне с идеей величины идею порядка, и самая идея порядка являлась для них в их философском идеале «всеобщей математики» (Mathesis universalis) только частным случаем более общих понятий  отношения между элементами и сочетания их. Под влиянием своей юношеской работы по комбинаторике (учение о перемещениях и сочетаниях) Лейбниц пытался создать логическую алгебру, которую он назвал всеобщей характеристикой и которая должна была выражать формулами комбинации понятий и соотношения между ними. Сущность математики Лейбниц видел, таким образом, не в ее содержании, но в ее дедуктивном методе и в ее символизме.

Широкие взгляды Декарта и Лейбница на сущность математики не соответствовали в течение долгого времени предмету занятий математиков; они не резюмировали современную им, но были программой, осуществление которой и теперь еще представляется делом будущего. Эти ученые сами более чем кто-нибудь способствовали тому, что работа математиков направилась главным образом на вопросы измерения величин и учения о числе. Декарт положил начало аналитической геометрии, которая дала возможность выражать формулами алгебры отношения формы и положения. Лейбниц одновременно с Ньютоном создали в анализе бесконечно малых могучее орудие для изучения функциональных зависимостей между переменными величинами, выраженными посредством чисел. Вопросы об измерении выступили поэтому на первый план в XVII и XVIII стол., и соответственно этому в знаменитой Энциклопедии XVIII в. мы находим в статье Даламбера (см.) определение математики, как науки, имеющей своей целью свойства величин, поскольку они перечисляемы и измеряемы. Развитие этого определения составляет цель той части «Курса положительной философии» Ог. Конта, которая посвящена математике; там же Конт выставляет, исходя из определения Даламбера, с большей ясностью различие между чистой и прикладной математикой, или, употребляя терминологию О. Конта, между абстрактной и конкретной математикой. Всякое математическое исследование преследует цель определить неизвестные величины по отношениям, существующим между этими неизвестными величинами и другими непосредственно измеряемыми и поэтому известными. Такое исследование необходимо состоит из двух частей, между собой существенно различных: 1) точного определения отношений, существующих между всеми рассматриваемыми величинами как известными, так и неизвестными, и сведения вопроса на соотношение между числами (конкретная часть), и 2) определения неизвестных чисел, когда известны функциональные соотношения между ними и известными (абстрактная часть вопроса). Несомненно, что важнейшие отделы математики, и в настоящее время разрабатываемые, подходят под определение Даламбера и могут быть классифицированы сообразно двум основным подразделениям О. Конта.

Чистая, или абстрактная, математика может быть определена с этих точек зрения, как учение о числах, операциях, производимых над числами, и функциональных зависимостях между ними. Соответственно этому можно различить три главные отдела чистой математики: 1. Учение о числах, или общая арифметика (см.). 2. Учение об операциях, производимых над числами, в частности учение об алгебраических операциях, изучение целых полиномов, решение алгебраических уравнений и систем алгебраических уравнений (см. алгебра, инварианты). 3. Учение о функциях вообще, или теория функций от вещественного и комплексного переменного. Теория функций составляет главный отдел высшей математики (см. высшая математика) важнейшим вопросом теории функций является вопрос о росте функций (в частности вопрос о наибольших и наименьших величинах). Решение этого вопроса как исторически, так и теоретически связано с методом бесконечно малых (или пределов), почему теория функций носит часто название анализа бесконечно малых. Его важнейшие отделы — дифференциальное, интегральное и вариационное исчисление (см. исчисление бесконечно малых и исчисление вариаций). В отличие от анализа бесконечно малых, рассматривающего непрерывные изменения независимой переменной и функции, исчисление конечных разностей изучает приращения функций, соответствующие конечным приращениям независимой переменной (см. исчисление конечных разностей). Что касается до конкретной, или прикладной, математики, то область ее все более и более расширяется; теперь уже можно указать большие заслуги, оказанные математическим методом биологии, психологии и экономической науке, в особенности учению об обмене (хрематистика, или каталлактика). Наиболее важные результаты достигнуты в науках о времени (хронометрия) и пространстве (геометрия аналитическая и дифференциальная), о движении и о силах (форономия; механика молярная, в частности небесная механика и молекулярная механика), о физических и химических явлениях (математическая физика и химия). Особый отдел прикладной математики (теория вероятностей) посвящен теоретическому обоснованию закона больших чисел, проявляющегося в случайных явлениях, и на ней основывается математическая статистика с ее разнообразными приложениями к вопросам метеорологии, кинетической теории вещества и социологии.

Перечисленные нами отделы чистой и прикладной математики могут быть в общем подведены под выше данное определение Даламбера. Но развитие науки как до конца XVIII в., так в особенности после него выдвигало такие вопросы и заставляло разрабатывать такие методы, которые выходят за границы этого определения. Так, явилась необходимость рассматривать вопросы, тесно связанные с идеей порядка, громадное значение которой, как было указано выше, признавалось еще Декартом. Из таких вопросов упомянем связь теорем учения о целых числах с порядком (Пуансо), значение вопроса о группах перемещений для теории алгебраических уравнений (Лагранж, Галуа). Теория множеств Георга Кантора показывает зависимость понятия о непрерывности от понятия о порядке.

С другой стороны, продолжалось начатое еще греческими геометрами синтетическое (конструктивное) изучение геометрических образов (конфигурации точек, кривые, поверхности), независимое от меры и от числа (проективная и дескриптивная геометрия), причем метрические свойства получаются, как частный случай свойств проективных. Принцип двойственности дает первый пример так называемого принципа перенесения или лексикона (Пуанкаре), т. е. возможности новой интерпретации предложений геометрии, если меняются элементы (точки заменяются прямыми и обратно), но остаются неизменными основные отношения, выраженные в определениях и постулатумах. При изменении элементов геометрия плоскости и пространства может быть рассматриваема, как геометрия многих измерений (пример — линейная геометрия Плюкера). Основатели неевклидовой геометрии показывают возможность геометрии, основанной на постулатумах, отличных от постулатумов, лежащих в основании геометрии Евклида. Приобретают большое значение вопросы топологии, или анализа положения (Analysis situs). Общим объединяющим принципом разнообразных геометрических дисциплин является или понятие о группе преобразований (Sophus Lie и Клейн), или понятие о многообразии элементов, сочетающихся по известным определенным законам (Грасман). Понятие о многообразии объединяет не только геометрические дисциплины, но и общую арифметику, включая в нее и учение о гиперкомплексных числах и теорию трансфинитных чисел Кантора. Под влиянием новых успехов математики и новых точек зрения явилась необходимость дать чистой математике определение более общее, чем определение Даламбера. В настоящее время предложено несколько таких определений, выдвигающих на первое место или идею порядка (Рёссель, Ительсон), или идею многообразия (Вундт, Христаль), или ту и другую: математика есть учение о порядке в многообразии. Все эти определения являются, как видно, определениями по содержанию. Но выше было уже указано, что Лейбниц видел сущность математики не столько в ее содержании, сколько в ее методе и в ее символизме. Все, что доступно точному определению, может служить предметом таких же строго вытекающих из основных определений и постулатумов-выводов, какие в обыкновенной математике прилагаются к числу и величине. Должна существовать общая наука об абстрактных отношениях (Mathematica universalis). Лейбниц мечтал о возможности свести всякое рассуждение к вычислению (ratiocinationes in omni argumento ad calculi formam exhibere) и о том времени, когда спорящие вместо бесполезного шума будут заменять спор вычислением (ut alter alteri dicere possit: calculemus). Развитие науки во многом оправдало эти идеи Лейбница. Особенное значение в этом отношении имели логическое исчисление (математическая логика) Буля и распространение символизма на логику отношений (в частности логику родственных и свойственных связей), а также исчисление операций (символическое исчисление), показавшее, что благодаря существованию одинаковых формальных законов (коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности) количества в формулах алгебры могут быть заменяемы символами дифференцирования и интегрирования (бином Ньютона и формула Лейбница для производной n-го порядка от произведения). Вышеупомянутый принцип перенесения или лексикона, имеющий громадное значение в геометрии (пример — данная Пуанкаре интерпретация неевклидовой геометрии, в которой точкам и прямым соответствуют точки и круги ортогональные к одной и той же прямой) , имел то же самое влияние. Не только геометрические элементы могут заменяться другими геометрическими элементами, но, как показала классическая работа Гильберта, тождество формальных отношений между геометрическими элементами, с одной стороны, и числами — с другой, дает возможность решать на основании учения о числах важнейший для геометрии вопрос о независимости и совместимости ее постулатумов. Таким образом, мало-помалу выяснялось, что идея, объединяющая разнообразные математические дисциплины, и таким образом истинная сущность математика есть именно идея вывода следствий, вытекающих из формальных отношений, существующих между элементами многообразия и устанавливаемых постулатумами или гипотезами. Природа элементов не имеет при этом значения, и возможность создания одной дедуктивной математической системы, приложимой ко многим многообразиям, резко различающимся по существу, но тождественным по структуре отношений или форме (Кемпе), представляет новую иллюстрацию громадного значения принципа экономии в математике. Понятна тесная связь новых взглядов на математике с логикой. Но некоторые ученые пошли в этом отношении еще дальше, доходя до полного отождествления математики с логикой и давая такие определения математики, которые с первого взгляда поражают своей парадоксальностью. Таково, например, определение американского ученого Пирса (Peirce): «математика есть наука, выводящая необходимые следствия», и аналогичное определение английского логика Рёсселя, которым он начинает свое сочинение: «Principles of Mathematics» (1903): «Чистая математика есть совокупность предложений вида: «из р следует q», где р и q суть предложения, содержащие одни и те же переменные и не содержащие никаких постоянных, кроме логических». Иными словами, чистая математика есть совокупность формальных выводов (implication), независимых от какого бы то ни было содержания, чем оправдывается юмористическое утверждение того же автора, высказанное в другом месте: «математика — это такая наука, где никогда не знают, о чем говорят, а также не знают, истинно ли то, о чем говорят». Подробному развитию этих мыслей посвящена статья Уайтхеда — «Математика» в новейшем издании «Encyclopedia Britannica». С точки зрения Уайтхеда и Рёсселя, «идеал математики — построить исчисление, которое облегчало бы рассуждение во всех тех областях мысли или внешнего опыта, в которых последовательность мысли или событий может быть определенно удостоверена или точно установлена». Будущее истории человеческой мысли покажет, насколько возможно приближение к этому идеалу.

А. Васильев.