Несоизмеримость

Несоизмеримость. Даны два отрезка АВ и CD. Если есть отрезок (общая мера), укладывающийся целое число раз в данных отрезках, то АВ и CD соизмеримы между собой; если же такого отрезка не существует, то АВ и CD несоизмеримы. Если АВ и CD связаны между собой геометрически, то можно найти из рассуждений, соизмеримы ли отрезки или несоизмеримы: в последнем случае процесс отыскивания общей меры бесконечен. Уже Пифагор знал, что диагональ и сторона квадрата несоизмеримы между собой. Распространяя понятие несоизмеримости, вообще, на геометрические величины, можно, например, доказать несоизмеримость длины окружности и радиуса, прямого угла и угла, отвлеченная мера которого равна единице, и т. д. В V кн. своих «Начал» Евклид первый развил теорию отношения двух несоизмеримых геометрических величин. Так как такое отношение выражается иррациональным числом, то учение о несоизмеримости тесно связано с учением об иррациональных числах. Отложим на полупрямой, начиная от ее начала О, отрезок ОА, равный единице (ОА=1). Тогда каждой точке М этой полупрямой соответствует отрезок ОМ и некоторое рациональное или иррациональное число, представляющее длину ОМ. Совокупность всех точек М представляет continuum. Если мы выделим из continuum’а те точки М, для которых ОМ соизмеримы с ОА, то получим счетное множество соизмеримых отрезков ОМ, т. е. с каждым таким отрезком можно связать некоторое целое число, или, иначе, все соизмеримые отрезки ОМ можно перенумеровать; для этого предложено несколько способов. Оставшиеся точки М и, следовательно, несоизмеримые отрезки ОМ не могут быть перенумерованы и представляют неизмеримо более мощное множество, чем выделенное. Таким образом, соизмерение двух геометрических величин представляет весьма частный случай, общим же случаем является несоизмеримость.

А. Некрасов.