Приближение

Приближение. Предположим, что вычисляя некоторое количество N, мы приходим к двум последовательностям s₁, s₂,. .., s_n,... и S₁, S₂,..., S_n,..., из которых первая — никогда не убывающая, а вторая — никогда не возрастающая, все S₁>s₁, S₂>S₂,...,и разности S_n—s_n при неограниченном возрастании числа n стремятся к нулю. Тогда каждое из количеств s_n есть приближенное значение количества N с недостатком, каждое из количеств S_n есть приближенное значение количества N с избытком, и погрешности приближения, т. е. разности S_n—N и N—s_n, не более S_n—s_n. Само количество N может быть определено или как предел обеих последовательностей, или же и из других соображений. Как элементарные примеры, укажем на приближенное извлечение корней, определение длины окружности через периметры вписанных и описанных многоугольников, При этом, например, число √2 может быть определено или обеими последовательностями его приближенных значений, или и независимо от них, геометрически (см. число). Несколько иначе можно определить приближение следующим образом. Если мы имеем такую последовательность ∑₁, ∑₂,… ∑_n,…, что |N-∑_n|<∑_n то есть приближенное значение количества N с погрешностью до ∑_n. Таково представление функций через ряд Тейлора и т. п. Приближение количества N называют также такое количество S, что частное |N-S/N| не превосходит некоторой границы, т. е. погрешность представляет малую долю определяемого количества N; примером служит представление факториала 1, 2... n через ряд Стирлинга. В естествознании всякий эмпирический закон есть приближение к действительности, например, закон Бойля-Мариотта для газов. Далее целые отдельные области науки могут быть приближением к действительности; например, теория упругости, как опирающаяся на предпосылки, удовлетворяющиеся в действительности только приблизительно;  практически годный объем выводов определяется опытами. Наконец, всякое измерение дает только приближенное значение измеряемой величины. Разность между истинным и приближенным значениями величины называется абсолютной погрешностью. За  меру точности измерения принимается относительная погрешность, т. е. отношение абсолютной погрешности к самому значению величины; так, ошибка в 1 см  на метр и километр приводит к точностям 0,01 и 0,00001.

А. Некрасов.