Прогрессии

Прогрессии. 1) Арифметической прогрессией называется ряд чисел u₁, u₂, ..., u_n, .. . или членов прогрессии, в котором разность между последующим и предыдущим членом равна постоянному числу r. Если r>0, то прогрессия — возрастающая; при r<0 прогрессия убывающая. Из предыдущего определения получаем для n-го члена прогрессии выражение u_n=u₁+(n—1)r. Всегда имеем u₁+u_n = u_1+k + u_n-k. Сумма n членов прогрессии равна S_n = (u₁+u_n)n/2.

2) Геометрической прогрессией называется ряд чисел u₁, u₂, ..., u_n,…, или членов прогрессии, в котором частное от деления последующего члена на предыдущий равно постоянному числу q, которое называется знаменателем прогрессии. Если q>1, то прогрессия — возрастающая, если же q<1, то прогрессия — убывающая; при q>0 прогрессия — знакопостоянная, а при q<0 прогрессия — знакочередующаяся. Из предыдущего определения имеем для n-го члена прогрессии выражение u_n = u₁q^n-1. Достаточно повысить порядок действий на одну ступень, т. е. заменить сложение умножением и т. д., чтобы от теорем арифметической прогрессии перейти к соответствующим  теоремам геометрической прогрессии. Для суммы n членов геометрической прогрессии имеем

S_n = u_nq-u₁/q-1

Если q<1, то прtдел un при n→∞ есть ноль, и мы получаем сумму бесконечно убывающей прогрессии

S_n = n₁/1-q

Таким образом, бесконечно убывающая прогрессия представляет элементарный пример суммируемого ряда, сравнивая с ней другие ряды, можно получить различные признаки сходимости рядов.

А. Некрасов.