Ряд

Ряд есть выражение вида

u0 + u1 + u2 +…,

где член Un определяется местом, которое он занимает, т.  е. указателем n. Ряд называется бесконечным, если число его членов бесконечно. Если последовательность сумм s0 = u0, s1 = u0 + u1,… sn = u0 + u1 + … + un сходящаяся, т. е. если sn стремится к определенному конечному пределу, когда число n неограниченно возрастает, то ряд

называется сходящимся, и предел sn = s – суммой ряда

Ряды не сходящиеся называются расходящимися. Например, сходящимися рядами будут: убывающая геометрическая прогрессия  
a + aq + aq2 + … (un = aqn-1 s = a/(1-q)).

Ряд 1 + 1/1 + 1/1·2 + 1/1·2·3 +… (un = 1/1·2·…·n), s = e = 2,718… - Неперово число.

Напротив, гармонический ряд 1 + ½ + 1/3 + … (un = 1(n-1)) – расходящийся, причем можно доказать, что предел разности (sn — log n) равен 0,577... (Эйлерово число), так что сумма членов гармонического ряда возрастает так же, как log n. Основная задача в теории рядов состоит в следующем: узнать, будет ли данный ряд сходящимся. Для этого пользуются признаками сходимости, которых известно очень много. Например, ряд будет сходящимся, если, начиная с некоторого n, всегда n√un < 1 (признак Коши), или (un + 1)/un < 1 (признак Даламбера). Ряды могут быть и кратные: например, двойной ряд

Весьма часто приходится иметь дело с рядами, члены которых суть функции одного или нескольких переменных, например,
u0(x) + u1(x) + … + un(x) + …

Исключительно важное значение таких рядов  ясно из того, что большинство функций, как в чистом анализе, так и в приложениях дается или получается именно в виде, таких рядов. Сходимость этих рядов вообще зависит от значений переменных. Ряд может быть сходящимся и представлять некоторую определенную функцию f(х), если х лежит в промежутке (а, b). т. е. если а < х < b, и расходящимся, если х лежит вне этого промежутка. Отсюда вытекает вторая основная задача в теории рядов: функция дана некоторым рядами внутри промежутка (а, b), где ряд сходится; найти свойства этой функции вне промежутка (а, b). Как пример ряда, члены которого зависят от переменных, приведем целый ряд:
a0 + a1x + a2x2 + … (un = anxn), частным случаем которого является известный ряд Тейлора, дающий разложение функции в ряд при значениях а + х, близких к а,
f(а + х) = f(а) + xf’(а) + (x2/1·2)f”(a) + (x3/1·2·3)f’”(a) + …

Важный класс рядов составляют тригонометрические ряды:
А0 + А1 cosα1x + B1 sinα2x + … = ∑n=0
An cosαnx + Bn sinαnx.

Если an = n, то мы получим ряд Фурье
A0 + A1 cos x + B1 sin x + A2 cos 2x + B2 sin 2x + …

Тригонометрические ряды могут представлять функции весьма общего вида, с особыми точками; например, если дан ряд
y = sinx/1 + sin3x/3 + sin5x/5 + …, то y=0 при sinx = 0, y = +π/4 при sin x > 0, и y = -π/4 при sin x < 0.

Бесконечные ряды играют чрезвычайно важную роль в математике; в некоторых дисциплинах, например, теории дифференциальных уравнений или небесной механике, почти исключительно приходится обращаться к таким рядам. Литература громадна; много нового внесла недавно возникшая теория функций действительного переменного. См. Гурса, «Курс Анализа» (1911); некоторые из монографий Бореля («Collection de monographies sur la Théorie des fonctions, publiée sous la direction d’E. Borel») посвящены глубокому изложению теории рядов.

А. Некрасов.

Номер тома37
Номер (-а) страницы4
Просмотров: 20

Алфавитный рубрикатор

А Б В Г Д Е Ё
Ж З И I К Л М
Н О П Р С Т У
Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ
Ы Ь Э Ю Я