Счисление

Счисление. Счислением в математике называется способ эффективного выполнения счета, как бы велико ни было число предметов. При неограниченности натурального числового ряда (1, 2, 3, 4, 5, ) нет возможности для каждого нового числа придумывать новое название, и потому необходимо  иметь возможность описывать числа при помощи незначительного количества слов и знаков. Это достигается путем группирования единиц в единицы высшего порядка. В принятой у нас системе счисления — десятичной — отдельные знаки и названия существуют лишь для первых девяти чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9); к этому присоединяется отдельный знак для указания отсутствия числа — 0 (нуль); при помощи этих десяти знаков обозначаются все числа, как бы велики они ни были; десять единиц низшего порядка объединяются в единицу высшего порядка:  десять единиц равно 1 десятку; десять десятков = сотне; десять сотен = тысяче, и т. д. Таким путем определяется последовательность чисел.

1, 10, 10², 10³,  …

причем любое число или принадлежит к этой последовательности, или находится между двумя последовательными ее членами. Например, 943 лежит между 10² и 10³; вычитая 10² столько раз, сколько нужно, чтобы остаток был меньше 10² (в данном случае девять раз), мы получаем остаток, лежащий между 10 и 10², и т. д.

В конечном итоге мы получаем: 943 = 9·10² + 4·10 + 3·1; и так мы можем изобразить любое число, как бы велико оно ни было. Наш десятичный позиционный счет является ничем иным, как упрощенным способом писать числа. Число единиц каждого разряда мы пишем на соответствующем разряду месте: 9·10² + 4·10 + 3·1 = девять единиц третьего разряда плюс четыре единицы второго разряда плюс три единицы первого разряда = 943.

Кроме десятичной системы счисления, возможны и другие. Можно взять как основание любое число за исключением нуля и единицы. Для многих теоретических изысканий очень удобен двоичный счет, благодаря его простоте и минимальному количеству знаков (0 и 1). С практической точки зрения двенадцатеричный счет был бы гораздо удобнее, чем десятичный, так как 12 делится на 2, 3, 4, 6, следовательно, можно было бы легко определять делимость числа, а также легко изображались бы наиболее ходовые дроби ½, 1/3, ¼, 1/6 и их кратные. Однако, мы пользуемся менее удобной десятичной системой по причинам анатомического характера: нашим отдаленным предкам при счете приходилось пользоваться пальцами, как иногда приходится и нам. Исчерпав пальцы на одной руке, переходили на другую руку; затем, с меньшим удобством, пользовались пальцами ног, но потом оказывалось необходимым искать иных возможностей; например, в счет вводился второй человек, и палец на его руке означал уже не единицу, а человека, т. е. равнялся двадцатке (или десятке, если пользовались только руками). Таким образом, возникал сам собой позиционный счет.

Уменьем считать, в большей или меньшей степени, обладают, по-видимому, все племена и народы нашего времени, даже стоящие на низких ступенях культуры. Многие малокультурные народы не умеют считать до трех. Слово «рука» означает часто и число «пять»; у индейцев Гвианы сумма пальцев рук и ног = 20 — называется «человеком». Отражением этого пальцевого счета являются римские цифры. Отражением его является и наш десятичный счет; в языке хранятся еще следы как пятеричного, так и двадцатеричного счета (например, французское quatre-vingts); десятичный их вытеснил, так как он обладает большей емкостью, чем пятеричный, и менее громоздок, чем двадцатеричный. Но, кроме того, в языке есть следы и более древнего двоичного счета, как, например, двойственное число в глагольных формах славянского и греческого языков или в языке керепеев в Новой Гвинее обозначение числа 7 = 2х2х2—1. Двоичный счет возник из разделения предметов разбиванием или ломанием и несомненно соответствовал самым ранним ступеням культуры.

В. Кс.