Сечение золотое

Сечение золотое, иначе золотое, или божественное деление, — известное из древности деление данного отрезка на две части так, чтобы большая часть была средней пропорциональной между всей прямой и меньшей ее частью. В настоящее время такое сечение отрезка называют делением его в крайнем и среднем отношении. Открытие сечения золотого принадлежит знаменитому греческому математику V в. до н. э. Эвдоксу Книдскому, который создал и общую теорию геометрических отношений и пропорций. Указав способ геометрического построения для решения задачи, он вывел также некоторые свойства получающихся при этом делении отрезков, а именно: если назовем разделяемый отрезок l, большую часть его а и меньшую b, то

В настоящее время задача обыкновенно решается алгебраически; называя большую часть отрезка I чрез х, имеем пропорцию:

Отбрасывая отрицательный корень, имеем:

что легко может быть построено при помощи циркуля и линейки. Алгебраически удобнее представить оба отрезка формулами:

Для приближенного построения можно довольно точно принять а = 5/8 l.

С любой степенью точности а может быть получено с помощью представления (√5 – 1)/2 в виде непрерывной дроби, причем получается замечательное разложение:

Сечение золотое своим названием и славой обязано было убеждению древнегреческих ученых в том, что в нем заключается математический закон красоты. Так, они полагали, что из всех прямоугольников наиболее эстетическое впечатление производит тот, у которого стороны представляют части отрезка, деленного по сечению золотому, из эллипсов — тот, у которого полуоси удовлетворяют той же пропорции, и т. д. Сечение золотое они склонны были видеть в пропорции тела красивейших людей, частей красивых зданий и т. д. Того же взгляда держались и средневековые математики, и такие художники, как Альбрехт Дюрер, Леонардо да Винчи др.; под влиянием Леонардо да Винчи была написана по этому вопросу известным ученым Лукой Пачиоли в 1609 г. книга «Божественное деление», с чертежами, сделанными Леонардо да Винчи. В новейшее время эстетическому значению сечения золотого было посвящено сочинение «Эстетические изыскания» д-ра Цейзинга, 1855 г., частично переведенное на русский язык под заглавием: «Золотое деление, как основной морфологический закон в природе и искусстве. (Открытие профессор Цейзинга)», с примечаниями и объяснением изложил Ю. Ф. В., М., 1876 г. В этой книге на ряде примеров из области архитектуры, музыки, ботаники и пр. доказывается, что сечение золотое — действительно основной закон красоты. Однако, проверка в новейшее время этого положения средствами экспериментальной психологии показала, что законы эстетики чрезвычайно сложны и во всяком случае не могут быть выражены такими простыми формулами, какова формула сечения золотого.

И. Чистяков.