Симметрия

Симметрия есть свойство некоторых фигур быть так составленными из равных частей, что мы можем придавать такой фигуре разные положения, но во всех этих положениях фигура представляется совершенно одинаковой, как будто мы этого положения и не изменяли; например, на какую бы из шести граней мы ни положили куб, он остается неизменным, как будто мы его не трогали; если цилиндр или конус мы положим на бумагу и очертим круг основания, то как бы мы их ни повертывали по этому кругу, их форма при рассматривании абсолютно не меняется, как будто они оставались неподвижными. Цветок шиповника мы можем пять раз повернуть около его стержня, цветы крестоцветных также мы можем четыре раза поворачивать около стержня, и их внешний вид не меняется.

Симметрия  всегда вызывает особое чувство удовольствия, почему очень часто в домашней обстановке ей уделяют большое внимание. Для забавы устраивают даже особые игрушки, вызывающие приятное впечатление своей симметрией, например, калейдоскопы, главной частью которых являются зеркала. Ведь каждое зеркало удваивает каждый видимый предмет, и пара таких предметов составляет уже один симметричный. Таковыми являются многие предметы природы, в частности, почти все животные и в числе их сам человек, в котором можно отличать правую и левую половины, обе равные по облику, как будто одна половина отражена в зеркале, чтобы получить вторую половину.

Вообще, понятие о симметрии играет в человеческом опыте и мышлении громадную роль, начиная от наиболее точной и совершенной его основы — мышления математического. Например, формулу а²=в²+с², выражающую знаменитую Пифагорову теорему, если а означает гипотенузу, а в и с катеты прямоугольного треугольника, мы называем симметричной по отношению к в и с, потому что обе эти величины играют в формуле одинаковую роль, а в частности могут быть равны (и тогда мы получаем симметричный треугольник). Иногда, вывод самых сложных теорем и формул упрощается до крайности, если можно воспользоваться симметричностью выражений или образов.

Однако, несмотря на такую универсальность значения понятия о симметрии, а может быть, именно благодаря этой универсальности, точная разработка учения о симметрии дело самых недавних дней, и поводом для этого послужило изучение форм кристаллов, логически приведшее к необходимости этого изучения в самом общем виде, то есть к выработке математического учения о симметрии.

Но и это достигнуто не в один прием. Полный вывод видов симметрии, представленных в кристаллах, впервые сделан Гесселем в 1829 г. в книге «Krystall» вошедшей в состав Gelehr's «Physikalisches Worterbuch», и с новой точки зрения повторен в 1866 г. А. В. Гадолиным в небольшом сочинении «Вывод всех кристаллографических систем и их подразделений из одного общего начала». Полный же вывод всех вообще возможных видов симметрии впервые сделан Е. С. Федоровым в 1881 г. (когда в рукописи был представлен академику Чебышеву) в сочинении «Начала учения о фигурах», где, впрочем, учение о симметрии составляет одну из пяти глав. Сочинение вышло из печати в 1885 г. В самые последние годы (1907) А. К. Болдыревым посвящена большая работа «Основы геометрического учения о симметрии» исчерпывающей обработке вопроса об элементах симметрии с приведением обширной литературы.

Мы видели, что из понятия о симметрии, прежде всего, вытекает, что симметрический предмет может быть представлен в нескольких положениях, не изменяя своей видимости. Поэтому первый вопрос, возникающий при изучении симметрии, есть вопрос о том, как мы можем менять эти положения и сколько в каждом частном случае таких положений.

На вопрос «как» отвечает понятие элемент симметрии, а на вопрос «сколько» — понятие величины симметрии, то есть некоторое число и притом непременно целое.

Ближайшее изучение показало, что в применении к ограниченным предметам¹⁾ элементами симметрии могут быть 1) оси симметрии, 2) плоскости симметрии и 3) элементы сложной симметрии, на которые можно смотреть как на неразделимые сочетания осей и плоскостей симметрии. С понятием оси симметрии связан простой поворот около нее на некоторый угол; если этот угол соответствует половине полного оборота, то ось называется двойной; если он соответствует трети того же оборота, то ось называется тройной; если четверти, то ось называется четверной и т. д. Например, куб, лежащий на квадрате, мы можем поворачивать четыре раза около его вертикальной оси, а потому эта ось есть четверная ось симметрии. Понятие о плоскости симметрии неразличимо от эффекта, который был бы вызван двухсторонним зеркалом бесконечно малой толщины. Наконец, ради легчайшего усвоения понятия о сложной симметрии прилагаются две фигуры с показанными на них вертикальными осями и горизонтальными плоскостями сложной симметрии (фиг. 1 и 2).

 

Фиг. 1. Фиг. 2.

На первой фигуре ось сложной симметрии есть шестерная, что усматривается из порядка вывода последовательного ряда узких граней, отмеченных цифрами 1...6. Например, чтобы перейти от грани 1 к грани 2, нужно около оси повернуть на одну шестую часть полного оборота и, кроме того, отразить в горизонтальной плоскости. То же нужно сделать и при переходе от грани 2 к грани 3. При этом суммируются два поворота около оси на 60°, а два отражения, напротив того, взаимно уничтожаются, так что для того, чтобы от грани 1 перейти к грани 3, вовсе и не нужно отражений, а достаточно около оси повернуть на угол 60°+60°= 120°, а потому шестерная ось сложной симметрии есть в то же время простая тройная ось симметрии.

На фигуре 2 показана фигура, обладающая четверной осью сложной симметрии, которая одновременно есть простая двойная ось симметрии.

Отсюда видим, что оси сложной симметрии имеют четное наименование, и простейшим возможным случаем будет двойная ось сложной симметрии, которой соответствует поворот на 180°, нераздельно связанный с отражением в горизонтальной плоскости. Но так как 180°=60°+60°+60°, то эффект, вызываемый таковой осью, мы можем видеть из фигуры 1, если перейдем от грани 1 к грани 4. Нетрудно понять, что эти две грани должны быть параллельны. Это можно выразить иначе в виде центра обратного равенства в точке пересечения оси и плоскости сложной симметрии. Поэтому понятие двойной оси сложной симметрии неразличимо от понятия центра обратного равенства.

¹⁾  Предметами, входящими в область изучения теории симметрии, могут быть и безграничные или так называемые «системы фигур». Таким объектом как раз служит система атомов кристалла, и в этой системе не только сохраняется возможность присутствия тех же элементов симметрии, но возможность еще весьма значительно расширяется, например, понятие оси симметрии расширяется до понятия о винтовой оси, а понятие о плоскости симметрии – до понятия плоскости скольжения.

 

Мы видим, что изменения положения симметрической фигуры, приводящие ее в совмещение с первоначальным положением, бывают двоякого рода: или 1) мы просто можем повернуть около некоторой оси (симметрии), то есть произвести простое движение, или же 2) к этому движению необходимо присоединить отражение, и тогда является симметричность. Например, если фигуру 1 мы просто повернем около оси на 60°, то от этого свойство фигуры, конечно, не изменяется; она остается сама собой, и в то же время, отражаясь в горизонтальной плоскости, снова совпадает со своим первоначальным положением, то есть опять-таки сама с собой. Но если, отражая в плоскости, мы получим из одной пару несовместимых фигур, по существу отличных, как мы отличаем правую руку от левой, то такая фигура, взятая отдельно, может быть совмещена сама с собой только некоторым движением, то есть вращением около осей симметрии.

Поэтому сама симметрия распадается на два существенно различных разряда: 1) симметрию совмещения, когда в фигуре имеются только оси симметрии и 2) симметричность, когда фигуру можно совместить и с ее отражением в зеркале. В последнем случае ее уже нельзя различать от отражения, как мы отличаем правую от левой: обе части в ней как бы уже совмещены. Такую симметричную фигуру мы получили бы, например, если бы обе руки приложили ладонями друг к другу и рассматривали эту пару как одно целое. Такими же являются и все фигуры, обладающие как плоскостями симметрии, так и сложной симметрией.

Рассматривая какую-нибудь фигуру, например, куб, мы можем в ней найти много разных элементов симметрии, а полная их совокупность составит один из бесконечного множества вообще мыслимых видов симметрии.

Между ними можно выделить легко понимаемые бесконечные ряды. Например, такой ряд мы можем получить, если в основу положим одну единственную ось симметрии. В этом случае непосредственно получаем и число, определяющее величину симметрии. Двойная ось определяет число два, тройная — три, четверная — четыре и т. д. Например, если возьмем произвольную плоскость, то в случае двойной оси симметрии из этой плоскости вращением около оси получим фигуру, ограниченную двумя плоскостями, в случае тройной оси симметрии — тремя плоскостями, и т. д.

Та фигура, которая выводится из одной единственной плоскости, придавая ей все положения, которые она может получить при данной совокупности элементов симметрии, называется простой формой. Если же мы то же проделали не с одной, а с двумя или большим числом плоскостей, то получили бы комбинацию простых форм, так как каждая плоскость, взятая отдельно, привела бы к простой форме, а полная совокупность составилась бы из нескольких таких простых форм¹⁾. Этим определяется значение понятия простой формы. Имея название для простой формы, мы этим самым охарактеризовали бы совокупность представленных элементов симметрии, и притом число граней простой формы выразило бы величину симметрии.

¹⁾  Например, фигуры 1  и 2 не есть простые формы, а представляют комбинации. В них простые формы представлены, например, теми узкими гранями, которые отмечены цифрами. Из дальнейшего будет видно, что эти формы есть сфеноэдр (фиг. 2) и ромбоэдр (фиг. 1), а кроме них на фигурах представлены призма и пинакоид.

 

Если в общем случае из одной плоскости мы выводим простую форму с числом граней, равным величине симметрии, то в частных случаях можно придать плоскости и такое положение, что получится простая форма с меньшим числом граней. Например, если данная грань, перпендикулярна к плоскости симметрии, то при отражении она совмещается сама с собой, а вместо двух получается всего одна грань. Если плоскость перпендикулярна к оси симметрии, то, каково бы ни было наименование этой оси, всегда все выводящиеся из нее грани сливаются в одну единственную.

Соответственно этому различают формы общие и специальные; только в первых число граней равно величине симметрии; во вторых же оно уже меньше. Если плоскость одновременно перпендикулярна, например, к тройной оси симметрии и к проходящей чрез нее плоскости симметрии, то в одну сливается уже не три, а целых шесть граней, так как в этом случае из одной плоскости симметрии уже выводится таковых три, и плоскость будет перпендикулярна ко всем. Например, для куба или октаэдра величина симметрии выводится в виде числа 48; но в самом октаэдре только 8 граней, потому что его грани одновременно перпендикулярны и к тройным осям симметрии, и к проходящим чрез них плоскостям симметрии. В кубе всего 6 граней, потому что его грани перпендикулярны не только к четверной оси симметрии, но и к четырем, проходящим через нее, плоскостям симметрии

Кроме специальных, можно по особому положению данной плоскости отличать еще частные формы, хотя бы общее число граней такой формы и оставалось равным величине симметрии. Например, если возьмем плоскость, параллельную оси симметрии, то и все грани простой формы будут параллельны этой оси или равным ей осям: ведь этот случай отличается тем, что взятая плоскость пересекает ось симметрии в точке бесконечно удаленной, а потому в той же точке будут пересекаться все грани, выводящиеся из данной вращением около этой оси, и такие грани будут пересекаться в параллельных прямых (совокупность таких граней в кристаллографии называется поясом; ср. XXV, 602). Если, например, имеется четверная ось симметрии, то в общем случае плоскость пересекает эту ось в некоторой точке, а выводящиеся из нее четыре грани образуют тетрагональную пирамиду, имеющую в ней свою вершину (точнее, центр); но если плоскость параллельна оси, то получается частная форма — тетрагональная призма.

Всегда же грани простых форм есть равные (или симметричные) многоугольники (такие формы называются равногранниками, или изоэдрами), и всегда же все грани простой формы могут быть описаны около шара (типические многогранники). Это непосредственно вытекает из понятия об элементах симметрии.

Хотя сочетаний элементов симметрии и бесконечное множество, но простые формы каждого такого случая легко получают характеризующее их название, которым одновременно характеризуется и вид симметрии.

Возможность определенных названий для бесконечного множества случаев подразумевает особую номенклатуру общих простых форм. Она установлена довольно положительно за некоторыми исключениями, в  которых ученые несколько расходятся между собой. Основание номенклатуры отчасти коренится в названиях, примененных для некоторых форм еще в древности, отчасти заимствуются от названий многоугольников, составляющих грани простых форм.

Правильные многоугольники, начиная с треугольника, получают греческие названия: «тригон», «тетрагон», «пентагон», «гексагон» и т. д.. Если каждую сторону правильного многоугольника мы заменим парой равных сторон, то получаются полуправильные многоугольники: «дитригон» (фиг. 3), «дитетрогон» (фиг. 4), «дипентогон», «дигексагон» и т. д.

 

Фиг. 3. Фиг. 4

Неправильный треугольник получает название «скалена»; неправильные четырехугольники получают название «трапеца»; если же он по диагонали разделяется симметрично (фиг. 5) , то называется «дельтоид»; частный вид дельтоида есть «ромб», а именно, когда равны все четыре стороны.

 

Фиг. 5. Фиг. 6.

Для некоторых простых форм, пришлось вводить названия в последнее время за отсутствием таковых в прежнее. Если возьмем многоугольник, имеющий центр, из этого центра восставим перпендикуляр, а из какой-нибудь точки этого перпендикуляра проведем плоскости через стороны многоугольника, то получим «пирамиду», например, тригональную (фиг. 6), или дитригональную (фиг. 7), тетрагональную или дитетрагональную и т. д.

 

Фиг. 7.

В простейшем случае двойной оси симметрии из одной плоскости вращением около оси получаем две плоскости, пересекающиеся в прямой, проходящей через точку на оси симметрии. Как простая форма она названа «гемипризмой» (другие авторы называют «сфеноидом», хотя это название было уже применено к неправильному четырехграннику). Если основание пирамиды ромб, то она называется «ромбической» и имеет пределом «ромбическую призму». Если плоскость основания пирамиды мы примем за плоскость симметрии, то получаем фигуру из двух пирамид, имеющих общее основание, или «бипирамид», например, тетрагональную (фиг. 8), дитетрагональную (фиг. 9), гексагональную, дигексагональную и т. д.

 

Фиг. 8. Фиг. 9.

Ясно, что как пирамид, так и бипирамид существуют бесконечные ряды. Первые получаются при существовании лишь единственной оси симметрии (пирамиды с основаниями — правильными многоугольниками), или же в случае, если имеются еще плоскости симметрии, проходящие через эти оси (пирамиды с основаниями — полуправильными многоугольниками). Из последних в качестве простейших (когда ось симметрии двойная) выделяются те, основания которых ромбы, то есть пирамиды и бипирамиды ромбические.

Если бы, изменяя наклон граней, мы дошли до положения перпендикулярности к оси симметрии, то бипирамиды превратились бы в пары параллельных плоскостей или «пинакоиды», а пирамиды в одиночные плоскости или «гемипинакоиды» (иногда их еще называют «педионами»).

 

Фиг. 10. Фиг. 11.

Если, кроме «главной» оси симметрии, имеются еще двойные оси, к ней перпендикулярные (к тройной оси три, к четверной четыре и т. д.), то получаются «трапецоэдры» (изоэдры, коих грани трапецы), например, тригональный (фиг. 10), тетрагональный (фиг. 11) трапецоэдры и т. д. В простейшем случае, когда главная ось двойная, или, правильнее, когда главной оси вовсе не имеется, получается «ромбический сфеноэдр» (фиг. 12, на которой пунктиром показано положение двойных осей симметрии). Он называется ромбическим, потому что в трех плоскостях, проходящих чрез две из осей, он пересекается в ромбах. Хотя грани трапецоэдров и неправильные четырехугольники, но все-таки две стороны, пересекающиеся в главной оси симметрии, должны быть равны, так как совмещаются при вращении около этой оси. В частном случае могут быть равны и две другие стороны, и тогда грань становится дельтоидом, получается частная форма «дельтоэдр». При этом тригональный трапецоэдр получает форму граней в виде ромбов и называется «ромбоэдр». Если же взять плоскость, перпендикулярную к плоскости, проходящей через оси главную и одну двойную, то получается другая частная форма — «бипирамида»; если притом плоскость параллельна главной оси, то бипирамида превращается в правильную (например, тригональную) призму. Вообще же из плоскости, параллельной главной оси, получается полуправильная (например, дитригональная) призма. Грани правильных призм, так же как и пинакоид, есть уже формы специальные.

 

Фиг. 12.

 

Фиг. 13. Фиг. 14.

Если чрез главную ось симметрии проходят плоскости симметрии не через двойные оси симметрии, а посредине между ними (так что одна двойная ось симметрии, отражаясь, совмещается с другой), то общей формой является «скаленоэдр», например, тетрагональный (фиг. 13), гексагональный (фиг. 14) и т. д. Частной формой скаленоэдра, когда делаются равными две стороны треугольника (пересекающиеся в точке на главной оси симметрии), является бипирамида. Специальными же формами являются те, коих грани  или перпендикулярны к плоскости симметрии, или к одной из осей симметрии. В первом случае вообще являются дельтоэдры (например, тетрагональный, фиг. 15 и выше); но тригональный дельтоэдр (как специальная форма гексагонального скаленоэдра) есть «ромбоэдр» (фиг. 16), а частной формой тетрагонального скаленоэдра является «сфеноэдр» (фиг. 17), отличающийся от ромбического тем, что в плоскости, проходящей чрез двойные оси симметрии, он пересекается в виде квадрата (а не ромба). Из грани перпендикулярной к двойной оси получается правильная (например, тригональная или тетрагональная) призма, а из грани, перпендикулярной к главной оси, получается пинакоид.

 

Фиг. 15.

 

Фиг. 16.

 

Фиг. 17.

В  скаленоэдрических видах симметрии главная ось симметрии есть в то же время ось сложной симметрии вдвое большего наименования. Например, в тетрагональном скаленоэдре, как ось симметрии она только двойная, и не была бы главной осью, если бы одновременно не представляла собой четверной оси сложной симметрии.

Если не имеется никаких других элементов симметрии, кроме осей сложной симметрии, то общими являются те самые формы (дельтоэдры и, в частности, ромбоэдр и тетрагональный сфеноэдр), которые в предыдущем случае играли роль форм специальных.

Если имеется только одна плоскость симметрии и больше ничего, то из одной плоскости получается в качестве общей формы две плоскости, пересекающиеся в прямой на плоскости симметрии. Эта форма ничем не отличается от вышеупомянутой гемипризмы. Поэтому в отличие от последней, называемой «осевой», эту называют «безосной» (некоторые называют еще «домою»). Наконец, если вообще нет никаких элементов симметрии, то, конечно, из взятой плоскости ничего больше не выводится, и она представляет общую форму и называется «гемипинакоидом» и уже никаких частных и специальных форм здесь не имеется, так же как и в том случае, когда представлен только центр обратного равенства и общей формой являются две параллельные грани или «пинакоид».

После всего изложенного нетрудно вывести и расклассифицировать все виды симметрии, составляющие бесконечные ряды. Но так как из них на кристаллах проявляются как раз простейшие члены этих рядов, хорошо укладывающиеся в группы по видам сингонии (см.), то достаточно ограничиться приведением их одних с указанием величины симметрии для каждого.

Гексагональная сингония.

1. Тригонально-пирамидальный (тройная ось симметрии) – 3.

2. Тригонально-бипирамидальный (тоже, что 1 и перпендикулярная плоскость симметрии) – 6.

3. Дитригонально-пирамидальный (тоже, что 1 и вертикальные плоскости симметрии) – 6.

4. Тригонально-трапецоэдрический (тоже, что 1 и перпендикулярные двойные оси симметрии) – 6.

5. Дитригонально-бипирамидальный (тоже, что 4 и плоскости симметрии как в 2 и 3) – 12.

6. Ромбоэдрический (шестерная ось сложной симметрии) – 6.

7. Гексагонально-скаленоэдрический (то же, что 4 и вертикальная плоскость симметрии между осями) – 12.

8. Гексагонально-пирамидальный (шестерная ось симметрии) – 6.

9. Гексагонально-бипирамидальный (то же, что 8 и перпендикулярная плоскость симметрии) – 12.

10. Дигексагонально-пирамидальный (то же, что 8 и вертикальные плоскости симметрии) – 12.

11. Гексагонально-трапецоэдрический (то же, что 8 и перпендикулярные двойные оси симметрии) – 12.

12. Дигексагонально-бипирамидальный (тоже, что 11 и плоскости симметрии как в  9 и 10) – 24.

Тетрагональная сингония.

1. Тетрагонально-пирамидальный (четверная ось симметрии) – 4.

2. Тетрагонально-бипирамидальный тоже, что 1 и перпендикулярные плоскости симметрии – 8.

3. Дитетрагонально-пирамидальный (то же, что 1 и вертикальные плоскости симметрии) – 8.

4. Тетрагонально-трапецоэдрический (то же, что 1 и перпендикулярные двойные оси симметрии) -  8.

5. Дитетрагонально-бипирамидальный (тоже, что 4 и плоскости симметрии как в  2 и 3) – 16.

6. Тетрагонально-сфеноэдрический (четверная ось сложной симметрии) – 4.

7. Тетрагонально-скаленоэдрический (тоже, что 4 и вертикальные плоскости симметрии между осями) – 8.

Триклинная сингония.

1. Гемипинакоидальный (элементы симметрии отсутствуют) – 1.

2. Пинакоидальный (центр обратного равенства) – 2.

Моноклинная сингония.

1. Гемипризматический осевой (двойная ось симметрии) – 2.

2. Гемипризматический безосный (плоскость симметрии) – 2.

3. Ромбопризматический (двойная ось и перпендикулярная плоскость симметрии) – 4.

Ромбическая сингония.

1.  Ромбопирамидальный (двойная ось и через нее плоскости симметрии) – 4.

2. Ромбо-сфеноэдрический (три взаимно перпендикулярные двойные оси) – 4.

3. Ромбо-бипирамидальный (то же, что 2 и через оси плоскости симметрии) – 8.

Если в приведенной таблице заключаются простейшие члены бесконечных рядов, то с другого конца эти ряды замыкаются такими видами симметрии, в состав которых входит ось симметрии бесконечно-большого наименования, то есть ось вращения, потому что те формы (тела вращения), которые обладают этой осью, совмещаются сами с собой при вращении около оси на какой угодно малый угол. Эта ось может быть дана как единственная, и тогда общей фигурой является конус, частной цилиндр, а специальной пинакоид; это, следовательно, конический вид симметрии. Или же ось вращения может сочетаться с бесконечным числом перпендикулярных двойных осей симметрии, а это не отличается от того случая, когда к этой оси прибавляется перпендикулярная плоскость симметрии. Прибавление же плоскостей симметрии, проходящих чрез ось, не даст ничего нового. Поэтому в этом втором случае общей фигурой является биконус, и возникает биконический вид симметрии. Наконец, совершенно специальным является сферический вид симметрии, для которого общей формой является шар или сфера. В этом случае все диаметральные прямые в шаре  есть оси вращения, и нет никаких больше частных или специальных форм.

Но этот случай уже можно отнести к тем немногим видам симметрии, которые выводятся из правильных многогранников. Кроме сферического, сюда относятся еще следующие семь видов симметрии, из коих два относятся к тетраэдру, три к кубу и октаэдру и два к додекаэдру и икосаэдру.

В правильном тетраэдре четыре тройные оси симметрии соединяют вершины с центрами противолежащих граней, а три двойные оси симметрии соединяют средины противолежащих ребер. Имеются еще плоскости симметрии, проходящие через двойные и тройные оси.

Мы можем различать два вида симметрии, характеризующиеся этими осями симметрии: 1) с приведенными плоскостями симметрии и 2) без всяких плоскостей симметрии.

 

Фиг. 18.

Первый называется гексакис-тетраэдрическим, а второй тетартоэдрическим видом симметрии.

В первом общей фигурой является «гексакис-тетраэдр» (фиг. 18), то есть 24-гранник с гранями неправильными треугольниками. В вершинах, находящихся на двойных осях, пересекается по 4, а в вершинах на тройных осях пересекается по шести граней. Все ребра, то есть стороны треугольников, находятся в плоскостях симметрии. Двойные оси одновременно и четверные оси сложной симметрии.

 

Фиг. 19. Фиг. 20.

Частной формою является «пирамидальный куб», когда плоскость взята так, что получается равнобедренный треугольник с равными сторонами, пересекающимися на двойной оси симметрии (фиг. 19). Специальными формами в случае, когда плоскость взята перпендикулярно к плоскости симметрии, «триакис-тетраэдр» с гранями — дельтоидами (фиг. 20) и «пирамидальный тетраэдр» с гранями — равнобедренными треугольниками (фиг. 21). Если плоскость перпендикулярна к тройной оси, то получается тетраэдр, а если перпендикулярна к двойной оси, то куб. «Ромбический додекаэдр» (фиг. 22) есть лишь частная форма триакис-тетраэдра, когда дельтоид становится ромбом.

 

Фиг. 21. Фиг. 22.

Во втором общей фигурой является «тетартоэдр» или «тригональный пентагон-изоэдр» (фиг. 23). Грани — неправильные пятиугольники; однако пары сторон, пересекающиеся в тройных осях, должны быть равны, так как совмещаются при повороте около этих осей. Частными формами являются здесь триакис-тетраэдр и пирамидальный тетраэдр, а также «пентагональный додекаэдр» (фиг. 24), для которого обе пары сторон делаются равными одновременно, а через средину пятой стороны проходит, как во всех тетартоэдрах, двойная ось. Еще более частный случай получается, когда и эта пятая сторона делается равной остальным и получается правильный додекаэдр. Напротив того, если пятая сторона сокращается до нуля, то получается, как частная форма, ромбический додекаэдр и здесь специальными формами являются куб и тетраэдр.

 

Фиг. 23. Фиг. 24.

В кубе и октаэдре имеются все те же элементы симметрии, что и в тетраэдре, но вместо двойных осей становятся уже четверные оси симметрии и прибавляется еще 6 двойных осей симметрии, соединяющих средины противолежащих ребер (и образующих биссектрисы как тройных, так и четверных осей симметрии). Кроме плоскостей симметрии тетраэдра (параллельных граням ромбического додекаэдра), здесь имеются еще плоскости симметрии, проходящие через каждые две четверные оси, то есть параллельные граням куба.

Здесь мы можем различать три вида симметрии: 1) со всеми приведенными здесь элементами симметрии, 2) со всеми приведенными здесь осями симметрии, но вовсе без плоскостей симметрии и 3) такой, при котором исчезают плоскости симметрии, параллельные граням ромбического додекаэдра и вместе с тем четверные оси становятся двойными осями симметрии, а другие двойные оси вовсе исчезают.

Первый вид симметрии называется гексакис-октаэдрическим, второй — гидроэдрическим, а третий диакис-додекаэдрическим.

 

Фиг. 25. Фиг. 26.

В первом общей фигурой является «гексакис-октаэдр» (фиг. 25), то есть 48-гранник с гранями - неправильными треугольниками. В вершинах на четверных осях пересекается по восьми, в вершинах на тройных осях — по шести, а в вершинах на двойных осях — по четыре грани. Особых частных форм не имеется. Из специальных те, у которых грани перпендикулярны к плоскостям симметрии, параллельным граням куба, есть уже упомянутые «пирамидальные кубы» (фиг. 19). Если грани перпендикулярны к другим плоскостям симметрии, то получаются «триакис-октаэдры» (фиг. 26) с гранями—дельтоидами и «пирамидальные октаэдры» с гранями — равнобедренными треугольниками (фиг. 27). В первых в вершинах на четверных осях пересекается по четыре, а в вершинах на тройных осях — по три грани; во вторых в вершинах на четверных осях пересекается по восьми, а в вершинах на двойных осях – только  по две грани, то есть двойные оси проходят через середины ребер. Специальные формы, с гранями перпендикулярными к четверным осям, есть куб с гранями, перпендикулярными к тройным осям — октаэдр и с гранями, перпендикулярными к двойным осям — ромбический додекаэдр.

 

Фиг. 27.

Во втором общую форму составляет «гироэдр» или «тетрагональный пентагон-изоэдр» (фиг. 28). Его грани — неправильные пятиугольники; однако пары сторон, пересекающиеся в тройных и четверных осях, равны, а пятая сторона пересекает двойную ось симметрии¹⁾. Частными формами являются пирамидальный куб, триакис-октаэдр и пирамидальный октаэдр. Специальными же куб, октаэдр и ромбический додекаэдр.

 

Фиг. 28. Фиг. 29.

Наконец, в третьем общую фигуру составляет «диакис-додекаэдр» (фиг. 29). Его грани—трапецы; однако, пары сторон, пересекающиеся на тройной оси, равны. Частные формы есть триакис-октаэдр, когда делаются равными и две другие стороны, и пирамидальный октаэдр, когда одна из этих сторон сокращается до нуля. Специальная форма, грани которой перпендикулярны к плоскостям симметрии, есть пентагональный додекаэдр (фиг. 24). Если грани перпендикулярны к двойным осям, то получается куб, а если грани перпендикулярны к тройным осям, то — октаэдр. В этом, как и в первом случае, тройные оси есть одновременно и шестерные оси сложной симметрии.

¹⁾ Выход двойных осей из центра на фиг. 28 показан маленькими черточками.

 

В правильных додекаэдре и икосаэдре имеется 6 пятерных осей симметрии, проходящих через вершины икосаэдра или перпендикулярных к граням додекаэдра, 10 тройных осей, перпендикулярных к граням икосаэдра или проходящих через вершины додекаэдра, и 15 двойных осей, соединяющих средины противолежащих ребер. Кроме того, имеется 15 плоскостей симметрии, перпендикулярных к двойным осям симметрии.

Мы можем различать два вида симметрии: 1) гексакис-икосаэдрический, когда имеются все эти элементы симметрии и 2) пентагон-изоэдрический, когда имеются все те же оси симметрии, но вовсе нет плоскостей симметрии.

В первом случае общую форму составляет «гексакис-икосаэдр» со 120 гранями – неправильными  треугольниками. Специальные формы «пирамидальный додекаэдр», «триакис-икосаэдр» и «пирамидальный икосаэдр» являются, когда грани перпендикулярны к плоскостям симметрии, а додекаэдр, икосаэдр и ромбический триаконтаэдр, когда грани перпендикулярны к осям симметрии.

Во втором случае общую форму составляет «пентагональный пентагон-изоэдр» с 60-ю гранями — неправильными пятиугольниками. Остальные формы те же, что в первом случае в качестве частных или специальных.

Этим исчерпывается до конца все поле возможных комбинаций элементов симметрии, то есть видов симметрии. В приложении к кристаллам можно сказать, что из них представлены лишь простейшие члены. Так, и из видов симметрии, относящихся к правильным многогранникам, представлены только те, которые относятся к тетраэдру и кубу с октаэдром и соединяются в одну группу — сингонии кубической.

Таким образом, если соединим в одну табличку все виды симметрии кристаллов, то получим:

Для кубической сингонии 5 видов симметрии;
гексагональной – 12;
тетрагональной – 7;
ромбической – 3;
моноклинной – 3;
триклинной – 2;
Всего – 32 вида симметрии.

Это и есть тот замечательный вывод, который впервые чисто математическим путем получен Гесселем в 1829 г.

Мы здесь остановились на группировке видов симметрии в виды сингонии (см.) кристаллов, как самом важном приложении учения о симметрии. С точки зрения чистой геометрии группировка иная, а именно в системы, причем триклинный, моноклинный и ромбический виды сингонии должны быть соединены в одну дигональную систему с 8-ю видами симметрии, затем идет тетрагональная система с 7-ю видами симметрии, гексагональная система с 12-ю видами симметрии, октагональная система с 7-ю видами симметрии, декагональная система с 12-ю видами симметрии и т. д. Как видим, объем тетрагональной и гексагональной систем по числу видов симметрии сходится с тетрагональной и гексагональной сингониями. Однако, чтобы видеть существенное различие между кристаллографическими видами сингонии и геометрическими системами, достаточно отметить, что тетрагональный дельтоэдр (фиг. 15) есть частная форма тетрагональной системы (и общая форма того вида симметрии октагональной системы, когда присутствует только восьмерная ось сложной симметрии), но никоим образом не принадлежит к тетрагональной сингонии, так как не может быть представлена в кристаллах (не подчиняется закону Гаюи). Крайний член бесконечного ряда систем есть система, коническая (с 2 видами симметрии).

В кристаллах представлена кубическая сингония (все пояса изотропны), но в чистой геометрии различаются системы тетраэдрическая (с 2 видами симметрии) и кубо-октаэдрическая (с 3 видами симметрии), а кроме того имеются система додекаэдро-икосаэдрическая (с двумя видами симметрии) и сферическая (всего один вид симметрии). Чтобы видеть существенное различие и здесь между системами и видами сингонии, достаточно указать на правильный додекаэдр, который является частной формой пентагонального додекаэдра (фиг. 24) (а также специальной формой додекаэдра-икосоэдрической системы), а потому относится к кубо-октаэдрической системе, но никоим образом не принадлежит к формам кубической сингонии.

Все (симметрические) простые формы весьма наглядно и просто могут быть воспроизведены на особых приборах, которые в сочинении «Начало учения о фигурах» названы гоноэдрическими. Это воспроизведение достигается частью на шаре посредством особых угловых пластинок, вращающихся на местах выхода осей симметрии, частью же посредством зеркал спаянных друг с другом над определенными углами. Например, для воспроизведения всех простых форм гексакис-октаэдрического вида симметрии три зеркала спаиваются под углами 45,° 60° и 90°; для форм гексакис-тетраэдрического вида симметрии спаиваются три зеркала под углами 60°, 60° и 90°, а для додекаэдро-икосаэдрического вида симметрии три зеркала спаиваются под углами 36°,60° и 90°. Все формы становятся видимыми натурально, если в такое тригоно-эдрическое зеркало налить ртути и разнообразно поворачивать.

Е. Федоров.