Тетрагонометрия сферическая

Тетрагонометрия сферическая (по Е. С. Федорову), учение об определении сферических элементов (дуг и углов) сети, образованной окружностями больших кругов на сфере, если даны трилинейные координаты вершин этой сети и элементы основного координатного треугольника. Тетрагонометрия плоская занимается определением элементов сети прямых линий на плоскости. Обе они имеют служебное значение в кристаллографии (см. XXV, 619/20, прил. 12).

Если мы проведем из центра произвольной сферы прямые и плоскости, параллельные ребрам и граням кристалла, то в пересечении со сферой они образуют сеть, составленную из дуг больших кругов сферы, где стороны (дуги) изображают грани, вершины — ребра кристалла, а углы между сторонами равны углам между гранями кристалла. Выбирая один из этих треугольников за основной координатный и одну из вершин сети за точку с координатами, равными единицам, мы последовательно определим три однородные координаты всех вершин сети. Посредством такой сети (или сети полярной, в которой каждая грань изображается точкой, лежащей на радиусе сферы, перпендикулярном грани, а ребро — линией пересечения сферы с диаметральной плоскостью, перпендикулярной ребру) и посредством координат ее вершин (символы ребер и граней) дается форма кристалла. Между тем непосредственно определяемыми элементами в кристалле являются углы между его гранями. Таким образом, возникает задача вычислить углы сети по координатам вершин и наоборот. Она, очевидно, разрешается применением сферической тригонометрии (см.).

Прежде всего, мы переходим к определению вершин сети посредством двух углов, которые образуют с одной выбранной стороной координатного треугольника две дуги большого круга, проектирующие заданную точку из двух вершин этой стороны. Если каждой окружности большого круга, проходящей через одну из этих вершин, припишем две координаты (m, n), принадлежащие точке, из которой эта окружность пересекает противоположную сторону координатного треугольника, то угол (m, n) этой дуги с основанием треугольника определится формулой:

[01] и [11] относятся, очевидно, к дугам, проходящим через третью вершину и точку единиц координатного треугольника. Вершины сети, лежащие на выбранном основании треугольника, определяются дугами, заключенными между ней и двумя вершинами a и b этого основания. Эти дуги вычисляются по той же формуле (1), где [m n] имеет теперь значение дуги между точками (m, n) и вершиной (1,0). Дуга [01] есть, очевидно, сторона (ab) координатного треугольника; дуга [11] между точкой единиц е и вершиной b определяется по формуле:

А и В, A₁ и В₁, суть углы, определяющие положение третьей вершины и точки единиц координатного треугольника.

Имея эти элементы, можно решить по формулам сферической тригонометрии всякий треугольник, две вершины которого совпадают с выбранными вершинами а и b. Все другие элементы сети определяются последовательным преобразованием основного координатного треугольника. Например, для переноса вершины из точки а в какую-либо точку х, лежащую на той же стороне ab, служит формула, определяющая угол Х_р между дугами рх и хb, где р любая точка сферы:

А_р и B_p углы при основании ab, определяющие положение точки р.

Все формулы тетрагонометрии выведены в ст. Е. С. Федорова «Основные формулы сферической и плоской тетрагонометрии» («Записки Горного Института», IV, 378).

С. Ф.