Треугольник

Треугольник, фигура, составленная тремя попарно пересекающимися прямыми на плоскости (плоений треугольник) или тремя дугами больших кругов на поверхности шара (сферический треугольник). Точки пересечения линий называются вершинами, а заключенные между ними отрезки прямых или дуг — сторонами треугольника. Плоские треугольники по длине сторон разделяются на разносторонние — с тремя равными сторонами, равнобедренные — с двумя равными сторонами, и разносторонние — с тремя неравными сторонами, а по свойству углов — на прямоугольные, с одним прямым углом (стороны, его заключающие, называются катетами, а противолежащая сторона — гипотенузой), тупоугольные — с одним тупым углом, и остроугольные — с тремя острыми углами.

Перпендикуляр, опущенный из какой-либо вершины треугольника на противолежащую сторону, называется высотой; в равнобедренном треугольнике высота, опущенная на третью сторону, является одновременно медианой (см.) и биссектрисой угла при вершине. Главнейшие свойства плоских треугольников были известны еще древнегреческим ученым; основным из них является постоянство суммы трех углов треугольника, которая равна двум прямым; это свойство было доказано учеными пифагорейской школы (VI—V вв. до н. э.; о роли этого предложения в обосновании геометрии см. теоретические основания математики, XLI, ч. 7, 333'/40' сл.). Им же (или самому Пифагору) принадлежит доказательство знаменитой теоремы о равенстве суммы квадратов катетов прямоугольного треугольника квадрату гипотенузы. Частный случай этой теоремы для треугольника со сторонами 3, 4 и 5 был известен еще египтянам. Более глубокое изучение количественных соотношений в треугольнике повело к созданию особой науки — тригонометрии (см.), окончательно оформившейся в ХVIII в., а изучение вопросов положения — к появлению в XIX и XX вв. т. н. «новой геометрии треугольника», особенно разрабатываемой французскими учеными. Свойства сферических треугольников разрабатывались древнегреческими, арабскими и европейскими учеными в связи с изучением астрономии, что повело к созданию сферической тригонометрии; они гораздо сложнее свойств плоского треугольника; в частности, для сферического треугольника ни теорема о постоянстве суммы углов, ни теорема Пифагора не приложимы. (О решении треугольников см. тригонометрия).

И. Ч.