Трисекция угла

Трисекция угла, знаменитая со времен древнегреческих геометров задача о разделении любого угла на три равные части при помощи циркуля и линейки. Частный случай этой задачи, когда угол — прямой, был решен еще пифагорейцами с помощью построения при вершине прямого угла на одной из его сторон равностороннего треугольника; но общий случай не поддавался решению при помощи циркуля и линейки, а потому некоторые ученые, как, например, Менехм, изобрели особые приборы для трисекции угла, другие же применили для той же цели более сложные кривые: Гиппий — квадратриссу, Никомед — конхоиду, Архимед — конические сечения, которые впоследствии применялись для той же цели и учеными нового времени: Декартом, Ньютоном, Пояселе и др. Виета (XVI в.) первый показал, что трисекция угла не может быть выполнена с помощью циркуля и линейки; действительно, если по углу α требуется найти угол α/3, то имеем соотношение: sin α = 3 sin α/3 – 4 sin³α/3, или, обозначая sin α/3  через х, получаем кубическое уравнение 4х³ — 3х + sin α = 0, но корни кубического уравнения не могут быть построены с помощью циркуля и линейки (см. ХIII, 331/32, прил. 64). Тем не менее, во все времена находились лица, пытавшиеся разрешить трисекцию угла циркулем и линейкой; существуют они и в настоящее время, хотя все академии наук уже более ста лет назад постановили не принимать к рассмотрению решений этой задачи.

И. Ч.