Умножение

Умножение. Пусть будут а и b натуральные числа. Умножение  числа а на число b называется повторение числа а слагаемым b раз: а х b = а+а+a+... (b раз). Умножение  можно определить равенствами а х 1   = а, а х b = [а х (b — 1)] + а. Таким образом, определив а х 1, мы определим из второго равенства последовательно а х 2, а х 3,... умножение натуральных чисел обладает следующими основными характеристическими свойствами, которые нетрудно доказать: 1) свойство переместительности (коммутативности): a х b = b х a; 2) свойство сочетательности (ассоциативности): (а х b) х с = а х (b х с); 3) свойство распределительности (дистрибутивности): (а+b) х m = а х m + b х m. умножение на дробь определяется равенством a/b x m/n = (a x m)/(b x n);  отсюда вытекает, что при умножении дробей предыдущие основные свойства умножения сохраняются (принцип постоянства основных законов действий - Ганкель). Из определения умножения на дробь видно, что такое умножение сводится к нахождению части от данного числа.

Предыдущие определения позволяют ввести общность и единство в рассуждения; в самом деле, если, например, якая скорость v равномерного движения и время t, то пройденный путь представится произведением v x t, будет ли t целым  или дробным. Определение умножения иррациональных чисел зависит от принятого определения самого иррационального числа. Определяя иррациональное число α как сечение в области рациональных чисел, рассмотрим все рациональные числа α₁ первого класса и все рациональная числа α₂ второго класса, так что α₁ < α₂; точно так же, пусть будет β иррациональное число, представляющее сечение в области рациональных чисел b₁, b₂ (b₁ < b₂). Произведением αβ мы будем называть сечение в области всех рациональных чисел a₁b₁ и a₂b₂, разделяющее эти числа на два класса, так что a₁b₁ < a₂b₂. При таком определении основные свойства умножение и здесь имеют место. В силу того же принципа постоянства основных законов умножения алгебраических чисел должно быть определено равенствами (+а) х (+b) = +ab, (—а) х (—b) = +ab, (+а) х (—b) = —аb, (-а) х (+b) = —аb. Умножение  комплексных чисел а+b_i, с+d_i (i² = —1) определяется равенством (а+bi) х (с+di) = ас — bd + i(ad+bc). Наконец, каково бы ни было число А, всегда А х 0 = 0 х А = 0. Дальнейшее расширение понятия числа приводит к необходимости отказаться от некоторых основных свойств умножение; так, в кватернионах (см.) уже не имеет места закон переместительный.

Практические правила умножение целых и дробных чисел излагаются в курсе арифметики; там же даются правила приближенного умножение, когда требуется знать результат лишь с известною точностью. В алгебре при умножении одночленов и многочленов пользуются правилом сложения показателей у одинаковых букв a^m x aⁿ = a^m+n. При умножение рядов имеет место теорема Мертенса: если ∑₁ и ∑₂ суть суммы двух рядов  ∑₁ = u₀ + u₁ + u₂…, ∑₂ = v₀ + v₁ + v₂…, из которых один — абсолютно сходящийся, а другой может быть и условно сходящимся, то ряд ∑₃ = u₀v₀ + (u₁v₀ + u₀v₁) + + (u₂v₀ + u₁v₁ + u₀v₂) +… сходящийся, и его сумма равна произведению сумм ∑₁ x ∑₂.  Упомянем еще про символические умножения. Например, если S есть символ некоторой подстановки, а S' символ другой подстановки, то SS' есть символ третьей подстановки, являющейся результатом последовательного выполнения первых двух; при этом, вообще, не имеет   места закон переместительный, т. е. SS'≠S'S.

А. Некрасов.