Упругость

Упругость есть способность тел оказывать сопротивление внешним силам, стремящимся или изменить геометрическую форму тел, или изменить объем, ими занимаемым; первое может иметь место в твердых, второе — в жидких и газообразных телах. Способность эта проявляется в том, что всякое тело при данных условиях температуры и внешнего давления занимает определенный объем, а если это тело твердое, то имеет и определенную геометрическую форму, причем постоянство этого объема и этой формы обусловливается тем, что среднее расстояние между отдельными частицами тела вполне соответствует данной температуре и данному давлению. Внешние силы при своем возникновении стремятся изменить это расстояние, переместит частицы, деформировать тело. Эта деформация ввиду податливости тела и осуществляется, но одновременно с ней развиваются между частицами тела взаимно уравновешивающиеся внутренние парные силы, силы упругого противодействия, величина и направление которых таковы, что любая часть тела, мысленно от него отсеченная, обеспечивает свое самостоятельное равновесие, развивая на поверхности раздела, мысленно нами проведенной, внутренние силы, совершенно уравновешивающие силы внешние, действующие на отсеченную часть. В таком состоянии тело называется упруго напряженным, или находящимся в состоянии упругого равновесия с внешними силами. Самые деформации и перемещения отдельных точек тела при этом таковы, что работа внутренних упругих сил по внутренним деформациям должна быть равна работе внешних сил по деформациям точек приложения этих сил. Таким образом, работа внешних сил поглощается упругим телом в виде внутренней работы, величина которой называется упругой энергией тела, и все явление представляется частным случаем преобразования энергии. Эта упругая энергия является энергией потенциальной и обратимой, так как по прекращении действия сил тело вновь целиком восстанавливает свою прежнюю форму и прежний объем, причем, если этому восстановлению встречаются препятствия, тело производит механическую работу устранения этих препятствий, равную имеющемуся в нем запасу упругой энергии.

Идеально упругим называется тело, которое воспринимает всю работу внешних сил в обратимой форме, т. е. которое целиком восстанавливает свою форму по прекращении действия внешних сил и целиком может работу внешних сил, затраченную на его деформацию, отдать обратно в виде механической работы при восстановлении своей формы. Идеально упругими являются тела газообразные и жидкие, из тел же твердых идеальной упругости обладают отдельные кристаллы тел кристаллического строения, стойко сохраняющие свою форму. Вообще же твердое тело в большей или меньшей степени обладает не идеальной упругости, не целиком восстанавливает свою форму, причем упругие свойства тел, с одной стороны, ограничиваются их неоднородной внутренней структурой, а с другой — величиной действующих внешних сил. Действительно, при достаточно значительной величине этих сил упругие свойства тела резко ослабляются и даже совсем прекращаются, и тело подвергается уже не упругой, а остающейся деформации или даже совершенно разрушается — распадается на отдельные части. Последнее имеет место в кристаллах при чрезмерном значении действующих на них сил. Изучение упругих свойств твердых тел и упругих явлений в них ограничивается, следовательно, такими телами, коих с достаточным приближением можно считать идеально упругими, и такими внешними силами, при коих идеально упругие свойства тел не нарушаются. При соблюдении этих двух последних ограничений упругое тело будет обладать еще тем свойством, вытекающим из предыдущего изложения, что его деформированное состояние при данных значениях внешних сил зависят лишь от этих конечных их значений и не зависит от того, каким путем отдельные внешние силы дошли от нуля до конечных значений, так как если только ни одна из внешних сил за все время процесса не превзошла предельного значения, нарушающего упругие свойства данного тела, то тело, деформируясь сообразно с изменениями в значениях внешних сил и одновременно с этими изменениями, в конечном итоге может принять лишь форму, соответствующую конечному значению сил. Следует при этом утверждении лишь оговориться, что оно будет совершенно справедливо лишь для тел с тремя измерениями одного порядка, для которых данной комбинации сил соответствует лишь одна возможная форма деформации. В телах, в коих формы деформации неустойчивы, и в коих при данных силах мыслимы несколько форм деформации, т. е. в телах с одним или двумя исчезающими измерениями (прутья, пластинки), возможно как такое промежуточное, предшествующее конечному, значение действующих сил, при котором форма деформации предрешается для дальнейших изменений сил в одном определенном направлении, так и такое их промежуточное значение, при котором форма предрешается в другом направлении.

Отметим, что внутренние силы, взаимно уравновешивающиеся, действуют в телах между частицами и до приложения к ним каких-либо внешних сил. Эти первичные внутренние силы обеспечивают цельность тела и противодействуют атмосферному давлению, испытываемому поверхностью тела, а иногда могут проявляться как результат каких-либо местных упругих деформаций, вызываемых в теле, например, при его предварительной обработке. Этих первичных сил в расчет не вводят, и за внутренние силы упругости принимают лишь те дополнительные внутренние силы, которые вызываются собственным весом тела и приложенными к нему внешними силами. Это положение относится к твердым телам. Конечно, газ, занимающий определенный первичный объем, или жидкость, заключенная в определенный сосуд, немыслимы и в своем первичном состоянии без внешнего воздействия на них стенок сосудов, в которые они заключены.

Таковы общие положения, определяющие упругие свойства тел природы.  

Наука, изучающая явления, происходящие в идеально упругих телах природы, называется теорией упругости и является отделом математической физики, чрезвычайно важным для целого рода вопросов научного естествознания. Так, вся теория звука есть отдел теории упругости, изучающий колебание упругих твердых тел, все теории распространения световых лучей и электромагнитных волн также основаны на законах теории упругости, все исследования, касающиеся сейсмических явлений, приливов и отливов, вопроса о форме и внутреннем строении земли, основываются на теории упругости, и далее основной вопрос о строении материи наиболее глубоко освещается именно изучением явлений, происходящих в упругих телах. Значение же теории упругости для техники заключается в том, что именно из ее основных положений исходят все выводы сопротивления материалов и строительной механики, наук столь необходимых для современного инженера, и следует отметить, что особенно за последнее время инженеру, по мере усложнения технических задач, все чаще и чаще приходится прибегать к помощи теории упругости.

Теория упругости, изучая явления, происходящие в телах природы, подвергает эти явления тщательному математическому исследованию, и именно в точных математических построениях и заключается вся ее сила, как науки. Однако она основывает свои выводы на ряде экспериментально доказанных фактов и положений, которые позволяют установить определение того идеально упругого тела, с которым имеет дело теория упругости. Тело это в общем случае предполагается твердым, так как явления, происходящие в жидких и газообразных телах, могут рассматриваться, за некоторыми оговорками, как частный случай тела твердого, как это будет в своем месте отмечено. Затем тело это предполагается непрерывно заполненным материей (milieu continu), и внутренние силы соответственно предполагаются   непрерывно распределенными по мысленным и внутренним сечениям тела, так что близ  каждой отдельной точки внутри тела внутренняя сила бесконечно мала, и оказывается - необходимым ввести понятие о внутреннем  напряжении, определяемом как предел, к которому в данной точке стремится отношение ΔР/Δω, где ΔР есть внутренняя сила, действующая на площади Δω. Если сила  действует нормально к площади ω, то получаем нормальное напряжение (n), а если   она действует в самой плоскости ω, то, имеем тангенциальное напряжение (t). Напряжения измеряются, как сила/площадь.

Предположение о непрерывности материи противоречит современному представлению о строении материи, которая считается состоящей из отдельных частичек, однако принимается как рабочая гипотеза, облегчающая математические операции и позволяющая   оперировать над непрерывными функциями при изучении внутренних деформаций и напряжений, между тем как при предположении об атомистическом строении материи задача с математической точки зрения очень осложняется и требует применения методов статистической механики. Деформации тела рассматриваются в теории упругости с ограничительным предположением, что, во-первых, они достаточно малы, а во-вторых, в каждом отдельном достаточно малом параллелепипеде, вырезанном из тела, соответственные ребра и грани остаются параллельными и после деформации, т. е. достаточно малый параллелепипед может превратиться лишь в параллелепипед же, но с другими длинами ребер и с другими углами между гранями. Это ограничение оказывается равносильным утверждению, что достаточно малый шар деформируется в трехосный эллипсоид, т. е. в поверхность второго порядка. Оно не мешает тому, чтобы все тело в целом подвергалось любой форме деформации, например, чтобы большая длинная прямоугольная балка изогнулась, искривилась, или чтобы большой шар получил весьма сложную конечную поверхность, так как вышеотмеченное ограничение относится лишь к достаточно малым элементам внутри тела.

Наконец, последнее допущение, вытекающее из опытов, гласит, что деформации находятся в линейной зависимости от напряжения, т. е. что воздействие каждого из напряжений, действующих в районе данной точки, на каждую из деформаций, возникающих в том же районе, выражается некоторым постоянным коэффициентом, или что δ_i = a_ik·n_k, где есть деформация по направлению i;n_k есть напряжение по направлению k; а_ik — постоянный коэффициент, зависящий от физических свойств данного тела. Допущение это называется законом Гука и также может рассматриваться как рабочая гипотеза, упрощающая изучение упругих явлений, однако для идеально упругих тел (кристаллы) при небольших действующих силах оно, по-видимому, вполне точно выражает явление, что особенно остроумно доказал Stokes, основываясь на изохронности колебаний упругих твердых тел.

С математической точки зрения два последних допущения, касающиеся деформации и линейной зависимости между деформациями и напряжениями, могут рассматриваться как пренебрежение при разложении в ряд соответственных функций всеми членами, кроме первого, за малостью последующих членов. Отметим еще, что тело считается однородным при его исследовании в том смысле, что каждая малая часть, выделенная из тела, рассматривается как обладающая всеми свойствами целого тела и как могущая в свою очередь быть разделенной на достаточно большое число частиц, сохраняющих все свойства целого тела.

На основании всех вышеприведенных ограничений и определений создана трудами ученых, из коих следует упомянуть Навье, Ламё, Коши, Пуассона, Максвелла, Сен Венана, Грина, лорда Кельвина и многих других (см. сопротивление материалов), сезонная теория упругости, основы которой изложены ниже.

Рис. 1.

I. Деформация отдельных точек упругого тела сводится к тому, что координаты каждой из этих точек (x, y, z) при перемещении точки приобретают некоторые превращения u, v, w, где u = f₁(x, у, z); v = f₂(х, у, z); w = f₃(x, у, z). При колебаниях тела величины u, v и w суть еще функции от времени t. Разлагая функции по строке Тейлора и пренебрегая всеми членами, кроме первых, найдем следующее значение приращения функций u, v, w для точки, координаты которой отличаются от координат начальной точки (x, у, z) на величины Δx, Δy и Δz:

Девять выражений, введенных нами, вполне характеризуют как перемещения точки (x,y,z), так и деформации близ этой точки, и в частности определяют, во что превращается весьма малый кубик со сторонами Δx, Δy и Δz (рис. 1), а именно x_x, y_y, z_z определяют относительное удлинение граней Δx, Δy и Δz; x_y = y_x, x_z = z_x, y_z = z_y определяют относительное искажение углов между осями ОХ и ОY, ОХ и OZ, и OY и OZ соответственно; наконец, величины  ω_x, ω_y, ω_z определяют вращение частицы, как целого, вокруг мгновенных осей.

Первые две группы выражений характеризуют собой, так называемую чистую деформацию без вращения, а третья группа — вращение частицы. Если величины ω_x = ω_y = ω_z = 0, то деформация совершается без вращения, и тогда перемещения имеют потенциал Ф, т. е.

Кроме того, должным начальным выбором осей координат можно достигнуть равенства нулю величин x_y = y_x, x_z = z_x, y_z = z_y. В этом случае начально выбранные 3 оси координат остаются взаимно перпендикулярными и после деформации, т. е. искажения углов между этими осями не происходит. На этих осях можно построить эллипсоид деформации (рис. 2), т. е. поверхность, определяющую распределение деформаций по всем направлениям от данной точки.

Эллипсоид этот может быть понимаем, как геометрическое тело, в которое превращается шар, вырезанный из тела близ точки х, у, z. Заслуживает внимания еще выражение

называемое объемным приращением тела, каковое приращение, конечно, влечет за собой и изменение плотности тела. Для жидкостей и пластичных твердых тел величина  ε = 0, а потому, если деформация совершается без вращения, то выражение объемного приращения приобретает вид

т.е. есть выражение Лапласовой операции и, следовательно, Ф есть гармоническая функция. В результате отыскание выражений u, v, w совершенно решает вопрос о распределении как перемещений отдельных точек, так и деформаций в отдельных точках по всему объему изучаемого упругого тела.

Используя термины и приемы векториального анализа, можно сказать, что

2 (ω_x; ω_y; ω_z) = вихревая производная вектора (u, v, w), т. е. curl или turbillion перемещения.

Величины х_х, у_у, z_z, x_у, у_z, z_x но могут быть произвольными и независимыми друг от друга, так как они суть функции от величин u, v, w. Исходя из значения первых шести величин и производя соответственные группировки, можно получить в результате необходимость следующих шести соотношении между ними:

II. Напряжения в отдельной точке упругого тела изучаются также посредством рассмотрения элементарного кубика, вырезанного   внутри тела, с ребрами, параллельными осям координат. Если назвать напряжение,   т. е. силы, приходящиеся на единицу площади, так: Х_х, Y_y, Z_z, суть напряжения, нормальные к граням, т. е. параллельные осям OX, OY, OZ; X_y, Y_x; X_z, Z_x; Y_z, Z_y суть напряжения, действующие в плоскости граней параллельно осям, обозначенным прописной буквой, то мы увидим, что этими девятью величинами вполне определяются все те внутренние силы, которые, действуя на поверхности граней, создают упругое равновесие частицы (рис. 3). Очевидно, они суть каждая функция величин х, у, z и, при движении, еще времени t. Конечно, вышеотмеченные величины относятся к граням, прилегающим к точке (х,у,z), а на противоположных гранях они направлены противоположно и отличаются на дифференциал соответствующей функции. Кроме того, на частицу действуют объемные силы, т. е. силы различного происхождения, равномерно распределенные по объему тела. Называя проекции на оси координат этих сил, отнесенных к единице массы, через Х, Y, Z и называя плотность тела ρ, имеем полное значение этих проекций в виде

Возможны при колебательном движении и силы инерции, проекции которых на оси координат суть:

Рис. 3.

Никаких других сил к частице не приложено, раз она взята внутри тела. Определяя условия ее равновесия, находим следующие шесть уравнений равновесия упругой частицы в пространстве:

а) Приравнивая нулю моменты всех сил относительно осей координат:

t, также исчерпывающе освещает распределение напряжений внутри тела, как определение величин u, v, w и соответственно х_х, у_у, z_z, х_y, у_z, z_x освещает распределение перемещений и деформаций внутри тела.

На поверхности тела должно существовать равновесие между внешними силами, приложенными к поверхности, и внутренними силами, действующими в соответственной части поверхности, почему на поверхностной площадке, направление нормали к  которой мы назовем через V, должны действовать следующие условия равновесия, если назвать проекции внешних сил, приложенных к этой площадке и отнесенных к единице площади, через X_v, Y_v, Z_v.

б) проектируя все силы на оси координат:

Определение величин X_x, Y_y, Z_z, X_y, Y_z, Z_x в функции от x, y, z, а иногда и от.

Косинусы появляются вследствие того, что площадки действия внутренних сил соответственно менее площадки с нормалью V. Итак, искомые шесть функций Х_х... Z_x должны удовлетворять поверхностным условиям.  Так же, как и при изучении деформаций, можно найти для каждой отдельной точки такие оси, при которых X_y=Y_z=Z_x=0, т. е. напряжения на гранях развиваются лишь нормальные, и на этих осях можно построить эллипсоид напряжений (эллипсоид Ламе)

каждый радиус-вектор которого есть напряжение на одной из плоскостей, проходящих через рассматриваемую точку.  

Для того, чтобы определить, к какой именно плоскости относится напряжение, выражаемое данным радиусом-вектором, следует построить при данной точке, кроме эллипсоида напряжений, еще другую поверхность (называемую директриссой)

которая, как видно из ее выражения, может представлять собой или эллипсоид, имеющий главные оси, совпадающие с эллипсоидом напряжений, или сочетание двуполого и однополого гиперболоидов, разделенных общим асимптотическим конусом и также имеющим оси, совпадающие с осями эллипсоида напряжений (см. рис. 4). Эллипсоид для директриссной поверхности получается, когда все три напряжения одного знака, а гиперболоиды — когда два напряжения одного знака, а третье — другого. Поверхности эти обладают тем свойством, что плоскости, касательные к отдельным точкам их, и суть плоскости действия для того радиуса-вектора эллипсоида напряжений, продолжение которого проходит через точку касания. Ясно, что асимптотические конуса отделяют напряжение одного знака от напряжения другого знака, и что по направлениям образующих этих конусов развиваются лишь тангенциальные напряжения. Лишь совместное построение эллипсоида напряжений и директриссных поверхностей позволяет полностью изучить распределение напряжений в данной точке. Отметим еще, что величина

называется средним напряжением растяжения в данной точке.

Рис. 4.

В зависимости от того, каково физическое состояние тела, получается то или иное соотношение между главными напряжениями:

а) В идеальной жидкости Х_х = Y_y = Z_z как в покое, так и при движении, и все суть напряжения сжатия. Эллипсоид напряжений, так же как и директриссная поверхность, превращается в шар. В этом случае для любых осей Х_у = Y_z = Z_x = 0, так как тангенциальные напряжения в любом направлении отсутствуют, ибо не могут проявляться в жидкости. Объемное расширение  ε = 0.

б) В вязкой жидкости в покое эллипсоид напряжений также — шар, но при движении развиваются не свыше известного предела и тангенциальные напряжения вязкости, вместе с чем равенство главных напряжений нарушается. Однако Х_х, Y_y и Z_z остаются исключительно отрицательными, и директриссная поверхность остается эллипсоидом. Объемное расширение ε = 0.

в) В сыпучем теле при достаточно малых размерах частичек тела можно также с известными допущениями установить наличие упругого напряженного равновесия (теория Рэнкина) и построить эллипсоид напряжений. И здесь все главные напряжения отрицательны, а тангенциальные не могут превосходить известного предела, зависящего от физических свойств тела.

г) В пластическом твердом теле эллипсоид напряжения отличен от шара, и главные напряжения могут быть и разнозначные. Тангенциальные напряжения ограничены известным пределом, более узким, чем предел допустимых главных напряжений, но могут иметь место и в состоянии покоя. Объемное расширение ε = 0.

д) Наконец, на идеально упругом твердом теле, образцом которого являются кристаллы, никаких ограничений для, главных и тангенциальных напряжений в пределах упругих свойств тела нет. Главные напряжения могут быть разных знаков, и директриссные поверхности гиперболоидальными.

Рис. 5.

Отметим здесь, что тангенциальное напряжение, являясь присущим главным образом твердым телам, проявляется частью как следствие внутреннего сцепления между частицами, частью как следствие внутреннего между ними трения, препятствующего сдвигу, что выражается формулой t =  γ + fn, где t есть данное тангенциальное напряжение, γ — величина силы сцепления, f — коэффициент внутреннего трения, n — нормальное напряжение, вызывающее это трение. В вязких жидкостях, сыпучих и пластических телах доминирует величина fn, в идеально упругих твердых телах — величина γ.

Очень упрощаются все формулы для плоского напряженного состояния, т. е. для случая, когда одно из главных напряжений равно 0. Тогда эллипсоид превращается в эллипс, а гиперболоиды в гиперболы. Интересен случай, когда Х_х = - Y_y, называемый случаем чистого сдвига. Здесь эллипсоид представляет собою круг, а гиперболы становятся равнобочными, причем здесь

Значение главных напряжений max Х_х и min Х_х через определенные для случайных осей нормальные напряжения Х_х, Y_y и тангенциальное Х_у выражаются вообще так:

т. е., max/min X_y равно полуразности главных  напряжений. Направление max Х_у, образует угол 45° с направлением главных напряжений. Чем менее разность между главными напряжениями, тем менее max/min X_y и вообще тем менее развиты в точке тангенциальные напряжения. Можно доказать, что и в трех измерениях максимум тангенциальных напряжений выражается полуразностью главных напряжений и действует на площадке, проходящей через среднее по величине напряжение и делящей пополам угол между наибольшими и наименьшими напряжениями.

Если игнорировать влияние объемных сил и рассматривать тело в покое, то выражения равновесия напишутся так:  

Дж. Максвелл в 1870 г. показал, что в этом случае можно найти некоторые функции Х₁, Х₂, Х₃ удовлетворяющие такому условию, что

Для случая плоского напряженного состояния эти три функции приводятся к одной — Х₃, при которой

Существование этой функции было впервые указано астрономом Эри (1863 г.). Конечно, функции должны быть подобраны таким образом, чтобы напряжения удовлетворяли поверхностным условиям, и чтобы деформации, вызываемые этими напряжениями, удовлетворяли выше выведенным уравнениям совместности деформации.

В некоторых случаях пространственного напряженного состояния возможно провести аналогию между распределением внутри упругого твердого тела величин и направлений перемещений и напряжений и распределением в силовом поле силовых линий и поверхностей равного потенциала в электростатических задачах (например, аналогия между задачей Буссинеска о действии сосредоточенной силы и задачей о поле, вызываемом плоскими проводниками). Встречаются и гидродинамические аналогии, нередко много способствующие решению отдельных задач (аналогии в теории кручения).

В некоторых пространственных задачах оказывается возможным проведение  изостатических поверхностей, образующих три системы взаимно пересекающихся под прямыми углами в любой точке тела поверхностей, обладающих тем свойством, что касательные к линиям пересечения этих трех поверхностей в любой точке дают направления главных напряжений в этой точке. Случаи эти все же довольно редки.

Дифференциальные уравнения равновесия внутри упругого твердого тела могут быть выражены, кроме ортогональных прямолинейных координат, и в любой ортогональной криволинейной координатной системе, в частности в цилиндрических r,  θ, z и в полярных r, θ, Φ координатах.

III. Зависимость между деформациями и напряжениями выводится, исходя из выражения работы упругих сил, развивающихся в теле во время деформации. Легко установить, что при отсутствии электростатического поля и при адиабатическом ходе процесса, т. е. когда тепло во время перехода тела из недеформированного в деформированное состояние не уходит из тела и не входит в него, приращение внутренней энергии тела, т. е. приращение термодинамического потенциала на единицу объема выразится в достаточно малый промежуток времени  δt так:

Правая часть этого выражения должна быть и полным дифференциалом по всем деформациям. Следовательно, существует функция деформаций W, обладающая тем свойством, что

Эта-то функция и выражает значение упругой энергии, накопленной в теле во время всего процесса его перехода из недеформированного в деформированное состояние. Что касается до вида этой функции, то он определяется тем, что теория упругости принимает без оговорок закон Гука о линейной зависимости между напряжениями и деформациями, выражая его так, что каждое из шести напряжений Х_х, Y_y, Z_z, Х_у, Y_z, Z_x есть линейная функция всех шести деформаций, т. е. выражается через них и через некоторые постоянные для данного тела коэффициенты так:

итого имеется 36 коэффициентов.

Однако, так как напряжения суть производные от выражения упругой энергии по отдельным деформациям, то ясно, что сама функция W должна быть однородной функцией второй степени от шести деформаций

Таким путем число коэффициентов упругости сводится к 21-му в самом общем случае.

Таким получается выражение упругой энергии при принятии закона Гука в основание наших рассуждений. Функция W есть составная часть термодинамического потенциала, являющегося самой общей функцией   состояния, зависящего от 3-х факторов: температуры, условий упругого равновесия и вида электростатического поля.

Коши, выводя соотношение между напряжениями и деформациями из взаимодействия центральных сил, действующих между отдельными частицами твердого тела, приходит к заключению, что число постоянных в самом общем случае еще меньше, а именно, равно 15-ти, так как из его выводов следовало, что

Те же выводы привели его к заключению, что наблюдаемое при линейном расширении деформируемого тела поперечное сжатие находится к этому расширению в постоянном отношении, и это отношение  σ = 0,25.

Соображения Коши вызвали некоторые принципиальные возражения и не вполне подтвердились экспериментальными данными, поскольку дело касалось значения коэффициента  σ, оказавшегося существенно различным для разных упругих твердых тел. Однако теория Коши имеет и своих сторонников и носит название «Rari-constants theory», т. е. теория малого числа постоянных, в противоположность другой, более распространенной «Multi-constants theory»,из которой мы и будем исходить в дальнейших соображениях. При этом мы предполагаем, что в каждой точке тела можно провести такие взаимно перпендикулярные оси, соответственно направленные, что значения коэффициентов а₁₁…а₆₆ останутся для всех точек тела постоянными при условии пользования в каждой точке соответственными осями. Если эти оси еще и остаются всегда параллельными между собой, то мы имеем дело с параллельной однородной упругостью, если же оси должны быть проводимы лишь соответственно, что может случаться, например, когда параллельно однородное упругое тело изогнуто хотя бы по винтовой линии и не потеряло от этого своих упругих свойств, то получается иная форма однородной упругости, в нашем случае — криволинейная или винтовая однородная упругости

Если в теле имеются физические плоскости симметрии, т. е. плоскости, относительно которых все физические свойства симметричны, то число постоянных быстро падает. Так:

а) при одной плоскости симметрии (т. е, например, для кристаллов одноклиномерной системы — см. симметрия)

т. е. число постоянных падает до 13;

б) при трех взаимно перпендикулярных плоскостях симметрии (т. е., например, для кристаллов ромбической системы — см. там же) еще

т. е. имеем 9 постоянных;

в) при трех взаимно перпендикулярных плоскостях симметрии, имеющих на одинаковых от себя расстояниях одинаковые физические свойства (т. е., например, для кристаллов правильной системы, в коих отношение основных измерений есть 1:1:1, - см. там же),

Выражение упругой энергии напишется так:

Наконец, при теле, обладающем шаровой изотропией, т. е. при таком теле, в котором все плоскости суть плоскости симметрии, перемена осей координат не должна изменять значения коэффициентов и, очевидно, не должна влиять на выражение 2W. Для этого необходимо, чтобы 2a₁₁ + a₁₂ – a₁₁ = 0, или, чтобы a₁₁ = a₁₂ + 2a₁₁.

Ламе для этого случая, наиболее важного в теории упругости, назвал

Итак, число постоянных сведено к двум. Выражение упругой энергии в этом случае можно переписать так, называя

Легко установить зависимость между постоянными Ламе λ и μ и применяемыми в теории сопротивления материалов модулями Е и G, а также вышеотмеченным коэффициентом σ, называемым коэффициентом Пуассона.

Рассматривая случай Х_х = А и остальные напряжения = 0, найдем:

Ясно, что если условия Коши справедливы, то λ = μ и σ = 0,25, или имеем одну постоянную.

Приведем теперь таблицы некоторых постоянных, определенных в разное время выдающимися физиками и исследователями по отношению к телам, принятым за тела с шаровой изотропией:

Нельзя, конечно, не отметить, что цифры эти все же несколько условны, так как материалы далеко не изотропны. Однако из них ясно видно, что гипотеза Коши относительно σ = 0,25 не подтверждается в общем виде. Еще интереснее в этом направлении выдающиеся работы Фойгта, исследовавшего упругие постоянные в однородных кристаллах правильной системы. Вот некоторые его результаты:

И здесь отношения Коши не имеют места. Заслуживают внимания результаты для пирита, давшие для σ отрицательное значение.

Последнее слово в этом отношении еще не сказано. Быть может, дальнейшие опыты, главным образом над кристаллами, внесут новый свет в эту область и если и не подтвердят целиком теории Коши, то, по крайней мере, установят большую закономерность в значении величины σ. Что касается до величины Е, то нельзя не отметить здесь работы Вертгейма и (позднее) Фессендена, определивших Е для ряда металлов и получивших результаты, позволяющие принять, что Е.А² = Const., где А — атомный объем. Этот интересный результат заслуживает большого внимания.

Отметим еще, что через Е и G  соотношения между напряжениями и деформациями в изотропных телах выражаются так:

Выше были выведены шесть дифференциальных зависимостей между элементами деформаций, которые должны иметь место в упругом теле. Эти же зависимости могут быть заменены аналогичными зависимостями между элементами напряжения, принимающими особо простой вид, если действием объемных сил можно пренебречь д^Ѳ '

Эти зависимости называются зависимостями Бельтрами.

Также и первые три из шести дифференциальных уравнений равновесия могут быть переписаны так:

При отсутствии объемных сил получаем из них

т. е. Δ есть гармоническая функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа. Далее можем доказать, что

Таким образом, для решения задач теории упругости мы имеем: а) шесть уравнений равновесия в той или иной форме, б) шесть зависимостей между напряжениями и деформациями, в) поверхностные условия и г) шесть дифференциальных зависимостей между элементами деформаций или взамен их шесть  уравнений Бельтрами.

Этими-то  данными и следует пользоваться, чтобы определить искомые u, v, w и Xx, Yy, Zz, Xy, Yz, Z_x и иногда от t.

При помощи вышеприведенных уравнений можно доказать, что 1) в трех измерениях задачи теории упругости имеют лишь одно решение; 2) выражение упругой энергии, соответствующее правильному решению любой задачи, имеет минимальное возможное для него значение, т. е.

При решениях задач теории упругости встречаются огромные математические трудности, однако совместные усилия математиков, механиков, физиков и ученых техников постепенно преодолевают эти трудности, и теория упругости все более расширяет сферу своего воздействия как в области научных достижений, так и в области технических приложений. Той же теории упругости суждено стать главным орудием для окончательного освещения вопроса о внутреннем строении материи,  и бесспорно она справится и с этой первейшей задачей мироздания, даже если для этого придется перестроить всю теорию и приспособить ее к изучению междучастичных сил, отказавшись от рабочей гипотезы о непрерывной среде.

П. Велихов.