Величина

Величина, основное математическое понятие; как и все основные понятия, оно долго оставалось без надлежащего определения. Трудность заключалась в том, чтобы подыскать более общие понятия, к которым можно было бы свести понятие о величине. До последнего времени почти во всех сочинениях по арифметике и по основам математики можно было встретить такое определение: «Величина есть все то, что может быть больше или меньше». Это определение мы находим даже в первом строго научном построении арифметики у Грассмана (Н. Grassmann, «Lehrbuch der Arithmetik»).

С точки зрения фактической против этого определения вряд ли можно спорить; но оно переносит центр тяжести вопроса на определение понятий «равно», «больше», «меньше», а это именно и представляет трудность, которая долгое время казалась совершенно непреодолимой. В настоящее время вопрос можно, по-видимому, считать исчерпанным, и заслуга разрешения принадлежит гёттингенскому математику Д. Гильберту и русскому математику С. О. Шатуновскому.

Прежде всего, о величине можно говорить только тогда, когда мы имеем некоторую определенную совокупность объектов, выделенную тем или иным критерием в обособленную группу: это, значит, указаны критерии, по которым мы можем относительно каждого объекта определенно установить, входит ли он в состав этой совокупности или нет. Такого рода совокупность объектов в математике называют ансамблем, многообразием или комплексом (примеры: ансамбль или комплекс всех отрезков, всех углов, всех весомых тел и т.п.). Такого рода комплекс претворяется в величину, если для элементов установлены критерии сравнения, то есть если установлены критерии, на основании которых для любых двух элементов комплекса А и В однозначно устанавливается, будет ли А равно В, или А больше В, или А меньше В.

Остается определить те соотношения, которые можно именовать словами «равно, больше, меньше». Для математика это означает указать те логические свойства этих понятий, которыми он может пользоваться в своих формальных рассуждениях. Чтобы иметь возможность такие свойства установить, нужно, прежде всего, располагать такими соотношениями, которые шире, общее, нежели соотношения равенства и неравенства. Такие соотношения, к данному случаю применимые, и были указаны Гильбертом и Шатуновским. Помимо тех соотношений, которые содержатся в формулировке основных законов мышления (законов тождества, противоречия и исключенного третьего), они кроются в понятиях о транзитивности, обратимости и возвратности.

Соотношение называется транзитивным, если всякий раз, когда объект А находится в этом соотношении к объекту В, а объект В находится в том же соотношении к объекту С, то А необходимо находится в том же соотношении к объекту С. Так, соотношение, выражаемое словами «А есть брат В» транзитивно: ибо, если А есть брат В, а В есть брат С, то А есть брат С. Соотношение «А есть предок В» транзитивно; соотношение «А есть отец В» нетранзитивно.

Соотношение называется обратимым, если всякий раз, как А находится в этом соотношении к объекту В, обратно и В находится в этом соотношении к объекту А. Так, например, родство есть соотношение обратимое: если А состоит в родстве с В, то и В состоит в родстве с А. Соотношение «А есть отец В» необратимо. Соотношение братства (между лицами одного пола) обратимо. Соотношение называется возвратным в некотором комплексе, если каждый элемент комплекса стоит в этом соотношении к самому себе. Закон тождества собственно и выражает, что тождество есть возвратное соотношение.

Положим, что в некотором комплексе между его элементами усмотрены троякого рода соотношения; соотношение первого рода будем обозначать через а, второго рода через b, третьего рода через с.

Положим, что соотношения эти обладают следующими свойствами:

I) Каковы бы ни были элементы комплекса А и В, первый находится ко второму по крайней мере в одном из этих соотношений.

II) Соотношение а исключает соотношение b и III) оно исключает соотношение с.

IV) Соотношение а транзитивно.

V) Соотношение b транзитивно.

VI) Соотношение с транзитивно.

VII) Соотношение а обратимо.

VIII) Соотношение а возвратно.

При таких условиях можно соотношение а называть словом равно, соотношение b словом больше (или меньше), соотношение с словом меньше (или соответственно больше). Пример. Комплекс состоит из всех кругов. Между элементами этого комплекса мы усматриваем следующие соотношения: 1) круг А может быть конгруэнтен кругу В; это мы будем называть соотношением а; 2) круг А может вместить внутри себя круг В; это мы будем называть соотношением b; 3) круг А может поместиться внутри круга В; это мы будем называть соотношением с.

Теперь ясно, что эти соотношения обладают свойствами I-VIII. В самом деле, каждый круг находится к другому кругу либо в соотношении а, либо в соотношении b, либо в соотношении с (I). Соотношение а исключает соотношения b и с (II, III); ясно, что все три соотношения а, b и с транзитивны (IV, V, VI), и. наконец, а есть соотношение обратимое и возвратное. В геометрии соотношение а выражают словами: «круг А равен кругу В»; соотношение b — «круг А больше круга В»; соотношение с — словами: «круг А меньше круга В».

Итак, под величиной в математике разумеют комплекс элементов, в котором имеют место троякого рода соотношения; эти соотношения должны быть все транзитивными, а одно из них должно быть также обратимым и возвратным; каждый элемент должен находиться к любому другому элементу в одном из этих трех соотношений, причем обратимо-возвратное соотношение исключает каждое из двух других. Это обратимо-возвратное соотношение называется равенством, а из двух других соотношений одно называют термином больше, другое — термином меньше.

Свойства понятий «равно», «больше» или «меньше», содержащиеся в предложениях I-VIII, исчерпывают математическое содержание этих понятий в том смысле, что все остальные свойства их могут быть логически выведены из этих. Эти свойства называют поэтому восемью постулатами сравнения. С. О. Шатуновский доказал, что эти постулаты независимы друг от друга, то есть что ни один из них не представляет собой логического следствия остальных.

Это определение понятия о величине дало математике действительный материал для развития всего учения о величине, содержащегося в различных математических дисциплинах.

В. Каган.