Вейерштрасс Карл

Вейерштрасс (Weierstrass), Карл, один из наиболее выдающихся математиков XIX столетия, родился в 1815 году, поступил в 1834 году в боннский университет на юридический факультет, а с 1838 года перешел в Мюнстер и здесь в течение трех лет работал над изучением математики, главным образом, под руководством Гудермана, затем был преподавателем в средних учебных заведениях. Но он не покидал научных занятий и опубликовал целый ряд работ, довольно однородных по своему характеру и развивавших одни и те же идеи. Мемуары «Zur Theorie der Abelschen Functionen» (1853) и «Theorie der Abelschen Functionen» (1856) явились как бы завершением этого ряда работ и создали Вейерштрассу всеобщую известность среди специалистов. Кёнигсбергский университет даровал ему в 1854 году степень доктора honoris causa; в 1856 году он получил кафедру во вновь открытом берлинском технологическом институте, а затем (1864) и ординатуру в берлинском университете. С этого времени Вейерштрасс получил возможность отдаться всецело науке и вскоре оказался во главе новой, им же созданной математической школы. Умер в 1897 году.

Обращаясь к характеристике научной деятельности Вейерштрасса, нужно, прежде всего, указать на общий характер его воззрений. Богатый наплыв новых идей, которыми ознаменовались в математике XVII и XVIIІ столетия —  эпоха созидания современного высшего анализа, — имел своим последствием некоторое перепроизводство:                избыток новых фактов и методов в ущерб их строгости и обоснованности. Уже с начала XIX столетия, с Гаусса и Коши (см.), начинается новое течение, хотя и недостаточно поначалу твердое. Абель и Грассман (см.) стали на этот путь решительнее, а Вейерштрасс первый объявил безусловную строгость математического доказательства своим основным девизом. Этот девиз обозначал требование вернуться к самым началам анализа, к обоснованию начал арифметики, которое только и может дать незыблемую базу для всего математического анализа. Вейерштрассу, по существу, принадлежит первое научное построение теории иррациональных чисел, этого важнейшего вопроса научной арифметики; учение о комплексных числах, которое Гаусс и Коши впервые вывели из области мистики, перекристаллизовавшись в работах Грассмана и Гамильтона, получило у Вейерштрасса свое завершение. При этом Вейерштрасс стоял на строго арифметической точке зрения, требуя, чтобы учение о числе развивалось само из себя, не только помимо грубой интуиции, но даже и без примеси каких бы то ни было геометрических представлений. От теоретической арифметики, как научной базы современного анализа, Вейерштрасс восходит к общему учению о функциях; теория функций (см.) в ее современном виде имеет, конечно, своих прародителей, — но отцом ее был Вейерштрасс. Если старые математики видели путь к изучению функции в ее формальном задании, то есть в ее аналитическом составе (в составе выражающей ее формулы), если Риман (см.) привлекал для этой цели своеобразные геометрические средства, то Вейерштрасс остался верен своей арифметической точке зрения. Не в формальном задании функции — ключ к ее изучению, а напротив — во внутренних свойствах функции, в характере зависимости значений функции от значений независимых переменных (непрерывность, существование производных, особенные точки, их число, характер и расположение) коренится сокровенная причина возможности того или другого формального выражения функции. Вейерштрассу принадлежит современное определение непрерывности функций; Вейерштрасс первый показал, как далека от истины презумпция, что всякая непрерывная функция имеет производную; Вейерштрасс создал функции, обладающие такими особенностями, которых никто раньше себе не представлял. Этим он обнаружил, как опасны те презумпции, которых держались почти все математики XVIIІ века, и решительнее чем кто-либо от них отказался. Наиболее же общим средством для формального задания функции комплексного переменного для Вейерштрасса служат степенные ряды и бесконечные произведения; их теория, так сказать, открывает Вейерштрассову теорию функций. Но ряд определяет функцию только в пределах круга сходимости; Вейерштрасс указывает средства «продолжить» функцию за пределы этого круга; он дает, таким образом, средства строить аналитическую функцию, расширяя постепенно область, в которой она определена, до ее естественных границ, обусловливаемых характерными особенностями функции.

Как ни важны эти общие идеи, вряд ли они получили бы полное признание, если бы Вейерштрасс не показал их применения к действительному изучению функций, играющих важную роль в анализе. Такими функциями явились эллиптические и гиперэллиптические функции. Эти замечательные функции служили предметом исследований многих великих геометров. Абель и Якоби изучали их, исходя от формальных преобразований интегралов, которые к этим функциям приводят; Риман придумал особые, если можно так выразиться, ультрагеометрические пути для их исследования; Вейерштрасс дал средства для непосредственного построения этих функций, представляющие собой осуществление его общих теорий. Вейерштрассова теория этих функций в настоящее время доминирует. Несколько более подробные сведения о характере этих специальных исследований читатель найдет в статье «Эллиптические функции». См. Lаmре, «К. W.» 1897.

В. Каган.